Найти частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами)

Нам дано дифференциальное уравнение:

y'' - 6y' + 9y = x^2 - x + 3
с начальными условиями:

y(0) = \frac{4}{3}, \quad y'(0) = \frac{1}{27}

Наша цель — найти частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям.

Шаг 1: Найдём общее решение уравнения

Уравнение имеет вид:

y'' - 6y' + 9y = f(x), \quad \text{где } f(x) = x^2 - x + 3

Общее решение состоит из двух частей:

y(x) = y_{\text{общ}} = y_{\text{общ. одн}} + y_{\text{ч. реш.}}

Шаг 2: Решим однородное уравнение

Однородное уравнение:

y'' - 6y' + 9y = 0

Решим характеристическое уравнение:

r^2 - 6r + 9 = 0

Находим корни:

r = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2} = \frac{6}{2} = 3

Итак, корень кратный: r = 3

Общее решение однородного уравнения:

y_{\text{одн}}(x) = (C_1 + C_2 x) e^{3x}

Шаг 3: Найдём частное решение неоднородного уравнения

Правая часть — многочлен второй степени, поэтому ищем частное решение в виде:

y_{\text{ч}}(x) = Ax^2 + Bx + C

Подставим в исходное уравнение:

Вычислим производные:

y_{\text{ч}}' = 2Ax + B
y_{\text{ч}}'' = 2A

Подставим в уравнение:

2A - 6(2Ax + B) + 9(Ax^2 + Bx + C) = x^2 - x + 3

Раскроем скобки:

2A - 12Ax - 6B + 9Ax^2 + 9Bx + 9C = x^2 - x + 3

Сгруппируем по степеням x:

9Ax^2 + (-12A + 9B)x + (2A - 6B + 9C) = x^2 - x + 3

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:

1. 9A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{9}
2. -12A + 9B = -1 \Rightarrow -12 \cdot \frac{1}{9} + 9B = -1 \Rightarrow -\frac{4}{3} + 9B = -1 \Rightarrow 9B = \frac{1}{3} \Rightarrow B = \frac{1}{27}
3. 2A - 6B + 9C = 3

Подставим A и B:

2 \cdot \frac{1}{9} - 6 \cdot \frac{1}{27} + 9C = 3
\frac{2}{9} - \frac{2}{9} + 9C = 3 \Rightarrow 9C = 3 \Rightarrow C = \frac{1}{3}

Итак, частное решение:

y_{\text{ч}}(x) = \frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{27}x + \frac{1}{3}

Шаг 4: Общее решение

y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{3x} + \frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{27}x + \frac{1}{3}

Шаг 5: Используем начальные условия

Подставим x = 0:

y(0) = (C_1 + 0)e^0 + 0 + 0 + \frac{1}{3} = C_1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow C_1 = 1

Теперь найдём производную:

y'(x) = \frac{d}{dx}[(C_1 + C_2 x)e^{3x}] + \frac{2}{9}x + \frac{1}{27}

Продифференцируем первую часть по правилу произведения:

\frac{d}{dx}[(C_1 + C_2 x)e^{3x}] = (C_2)e^{3x} + (C_1 + C_2 x) \cdot 3e^{3x} = [C_2 + 3(C_1 + C_2 x)]e^{3x}

Итак:

y'(x) = [C_2 + 3(C_1 + C_2 x)]e^{3x} + \frac{2}{9}x + \frac{1}{27}

Подставим x = 0:

y'(0) = [C_2 + 3C_1]e^0 + 0 + \frac{1}{27} = C_2 + 3C_1 + \frac{1}{27}

\Rightarrow C_2 + 3 \cdot 1 + \frac{1}{27} = \frac{1}{27} \Rightarrow C_2 = -3

Ответ:

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

y(x) = (1 - 3x)e^{3x} + \frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{27}x + \frac{1}{3}