Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям

Этот вопрос относится к предмету "Дифференциальные уравнения", разделу "Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами"

Дано дифференциальное уравнение второго порядка: \[ y'' - 3y' = 3e^{3x} \] с начальными условиями \( y(0) = 2 \) и \( y'(0) = 4 \).

Для нахождения частного решения данного неоднородного уравнения, следует выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Решение однородного уравнения

Сначала решим соответствующее однородное уравнение: \[ y'' - 3y' = 0 \]

Характеристическое уравнение для этого однородного уравнения: \[ r^2 - 3r = 0 \]

Решим его: \[ r(r - 3) = 0 \]

Отсюда: \[ r_1 = 0 \] \[ r_2 = 3 \]

Таким образом, общее решение однородного уравнения будет: \[ y_h(x) = C_1 e^{0x} + C_2 e^{3x} \] \[ y_h(x) = C_1 + C_2 e^{3x} \]

Шаг 2: Нахождение частного решения неоднородного уравнения

Для нахождения частного решения, предположим вид решения \( y_p(x) \). Обратим внимание на правую часть нашего уравнения \( 3e^{3x} \). Поскольку однородное решение уже включает в себя \( e^{3x} \), попробуем частное решение вида: \[ y_p(x) = Ax e^{3x} \]

Найдём первые и вторые производные \( y_p(x) \):

\[ y_p' = A e^{3x} + 3Ax e^{3x} \]

\[ y_p'' = 3A e^{3x} + 3A e^{3x} + 9Ax e^{3x} = 6A e^{3x} + 9Ax e^{3x} \]

Подставим \( y_p, y_p' \) и \( y_p'' \) в оригинальное уравнение:

\[ (6A e^{3x} + 9Ax e^{3x}) - 3(A e^{3x} + 3Ax e^{3x}) = 3e^{3x} \]

Соберём все члены, содержащие \( e^{3x} \):

\[ 6A e^{3x} + 9Ax e^{3x} - 3A e^{3x} - 9Ax e^{3x} = 3e^{3x} \]

Решаем для \( A \): \[ 3A = 3 \] \[ A = 1 \]

Итак, частное решение: \[ y_p(x) = x e^{3x} \]

Шаг 3: Общее решение и применение начальных условий

Общее решение уравнения будет: \[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) \] \[ y(x) = C_1 + C_2 e^{3x} + x e^{3x} \]

Применяем начальные условия: \[ y(0) = C_1 + C_2 = 2 \]

\[ y'(x) = 3C_2 e^{3x} + e^{3x} + 3x e^{3x} \]

Применяем второе начальное условие \( y'(0) = 4 \): \[ y'(0) = 3C_2 + 1 = 4 \] \[ 3C_2 + 1 = 4 \] \[ 3C_2 = 3 \] \[ C_2 = 1 \]

Теперь возвращаемся к первому начальному условию: \[ C_1 + 1 = 2 \] \[ C_1 = 1 \]

Итак, окончательное решение будет: \[ y(x) = 1 + e^{3x} + x e^{3x} \]

Таким образом, частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, будет: \[ y(x) = 1 + e^{3x} + x e^{3x} \]