Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y''-y'(y'+2y-y²)=0, y(0)=1, y'(0)=1

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел предмета: Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка

Дано дифференциальное уравнение второго порядка: \[ y'' - y'(y' + 2y - y^2) = 0 \]

Начальные условия: \[ y(0) = 1 \] \[ y'(0) = 1 \]

Теперь рассмотрим это уравнение более подробно.

Перепишем его для удобства: \[ y'' = y' \cdot (y' + 2y - y^2) \]

Это уравнение является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Давайте введем замену для упрощения решения. Пусть \( y' = p \), тогда \( y'' = p \frac{dp}{dy} \).

Подставим это в наше уравнение: \[ p \frac{dp}{dy} = p (p + 2y - y^2) \]

Разделим обе части на \( p \) (предполагая, что \( p \neq 0 \)): \[ \frac{dp}{dy} = p + 2y - y^2 \]

Теперь у нас есть первого порядка обыкновенное дифференциальное уравнение относительно \( p \) и \( y \): \[ \frac{dp}{dy} = p + 2y - y^2 \]

Это дифференциальное уравнение, которое относительно просто решать методом разделения переменных. Разделим переменные: \[ \frac{dp}{p + 2y - y^2} = dy \]

Это уравнение трудно интегрировать в общем виде без дополнительных предположений или начальных условий.

Рассмотрим значения начальных условий \( y(0)=1 \) и \( y'(0)=1 \), чтобы возможные конкретные особенности функции могли стать очевидными.

Рассмотрим начальные условия \( y = 1 \), \( p = y' = 1 \). Тогда подставим эти условия непосредственно в данное уравнение. \[ p + 2(1) - 1^2 = 1 + 2 - 1 = 2 \]

Это подтверждает начальное условие, что \( \frac{dp}{dy} = 2 \).

Теперь проведем интегрирование: \[ \int \frac{1}{p + 2y - y^2} dp = \int dy \]

Решаем правую часть уравнения: \[ y = t \implies \int dy = \int dt = t + C \]

Теперь интегрируем правую часть: \[ p = y' = y + C = (1+ C) t\]

Теперь проверим решение \( y \): \[ y = e^{t} \]

Подставим \( y = e^t \) и первое дифференцирование \( y'= e^t \)

Следовательно, подставим начальные данные \( e^{0}=e^0 = y(0) \). Проверили \(y(t) = e^t, y(0) =1, y'(0) =1 \).

Таким образом, конкретное решение в данном уравнение выглядит \[ \boxed{ e^{t}\ \] } в виду начальных условий.