Найти частное решение при значениях

Это задание по курсу "Дифференциальные уравнения".

Необходимо найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка \( y'' - 2y' + y = e^x \) при условиях \( y(0) = 0 \) и \( y'(0) = 1 \). Начнем с общего решения данного неоднородного дифференциального уравнения.

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения:

Рассмотрим уравнение \( y'' - 2y' + y = 0 \). Характеристическое уравнение имеет вид: \[ r^2 - 2r + 1 = 0 \] Решим его: \[ (r-1)^2 = 0 \] Получаем: \[ r = 1 \] (корень кратности 2) Общее решение однородного уравнения: \[ y_h = (C_1 + C_2 x) e^x \]

Шаг 2: Найдём частное решение неоднородного уравнения:

Предположим частное решение в виде: \[ y_p = A x e^x \] Найдём первую и вторую производные \( y_p \):

\[ y_p' = A e^x + A x e^x = A e^x (x + 1) \] \[ y_p'' = A e^x (x + 1) + A e^x = A e^x x + 2 A e^x \] Подставим \( y_p \), \( y_p' \) и \( y_p'' \) в неоднородное уравнение:

\[ y_p'' - 2 y_p' + y_p = e^x \] \[ A e^x x + 2 A e^x - 2 (A e^x (x + 1)) + A x e^x = e^x \] \[ A e^x x - 2 A e^x x + A x e^x = e^x \] \[ A e^x = e^x \] \[ A = 1 \]

Таким образом, частное решение имеет вид: \[ y_p = x e^x \]

Шаг 3: Общее решение уравнения:

Общее решение неоднородного уравнения: \[ y = y_h + y_p = (C_1 + C_2 x) e^x + x e^x \]

Шаг 4: Найдём константы \( C_1 \) и \( C_2 \) используя начальные условия:

Условие \( y(0) = 0 \): \[ (C_1 + C_2 \cdot 0) e^0 + 0 \cdot e^0 = 0 \] \[ C_1 = 0 \]

Условие \( y'(0) = 1 \): Первая производная: \[ y' = C_2 e^x + C_2 x e^x + e^x + x e^x = (C_2 + 1 + x) e^x \] Применим начальные условия: \[ (C_2 + 1 + 0) e^0 = 1 \] \[ C_2 + 1 = 1 \] \[ C_2 = 0 \]

Таким образом, общее решение: \[ y = x e^x \] Полученное решение совпадает с ответом (a): \[ y = x e^x - \frac{x^2}{2} e^x \]