Найти частное решение неоднородного уравнения второго порядка

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Задание:

Определить частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка \( y'' - 3y' - 4y = xe^x \).

Шаги решения:

1. Решение соответствующего однородного уравнения: Рассмотрим сначала однородное уравнение \( y'' - 3y' - 4y = 0 \). Характеристическое уравнение для этого однородного уравнения имеет вид: \[ r^2 - 3r - 4 = 0 \] Решим это характеристическое уравнение: \[ r = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \] \[ r_1 = 4, \quad r_2 = -1 \] Таким образом, общее решение однородного уравнения: \[ y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-x} \]
2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения: Предположим частное решение \( y_p \) в виде \( y_p = e^x x(a + bx) \), так как правая часть уравнения \( xe^x \) имеет вид произведения полинома и экспоненты. Частное решение при подстановке в уравнение должно удовлетворять ему. Для этого: Первые и вторые производные \( y_p \) равны: \[ y_p = e^x x(a + bx) \] \[ y_p' = e^x(a + bx + x(b + 1)) = e^x(a + 2bx + bx) \] \[ y_p'' = e^x(a + 3bx + bx + b) \] Подставим \( y_p \), \( y_p' \), \( y_p'' \) в оригинальное уравнение: \[ e^x(a + 3bx + bx + b) - 3e^x(a + bx + x(b + 1)) - 4e^x x(a + bx) = xe^x \] Сгруппируем термины: \[ e^x(a + 3bx + bx + b) - 3e^x(a + bx + x(b + 1)) - 4e^x x(a + bx) = e^x[ a + (2b + b)x + b - 3a - 3bx - 3(xb + x) - 4x(a + bx)] ==xe^x \\\ e^x [a+3bx-3a-3bx-3(xb+x)-4(a+bx)] \] Процесс нахождения окончательной функции составление системы линейных уравнений, которая нужна для дополнительной информации о w,b