Найти частное решение неоднородного уравнения

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (линейные дифференциальные уравнения второго порядка с правой частью)

Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:

y'' - y' - 2y = 4\sin(2x)

Шаг 1: Решим однородное уравнение

Рассмотрим однородное уравнение:

y'' - y' - 2y = 0

Характеристическое уравнение:

r^2 - r - 2 = 0

Решим его:

r = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}

r_1 = 2, \quad r_2 = -1

Общее решение однородного уравнения:

y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x}

Шаг 2: Найдём частное решение неоднородного уравнения

Правая часть: 4\sin(2x)
Пробуем частное решение вида:

y_p(x) = A \cos(2x) + B \sin(2x)

Найдём производные:

y_p' = -2A \sin(2x) + 2B \cos(2x)
y_p'' = -4A \cos(2x) - 4B \sin(2x)

Подставим в исходное уравнение:

y_p'' - y_p' - 2y_p = 4\sin(2x)

Подставим выражения:

 (-4A \cos(2x) - 4B \sin(2x)) - (-2A \sin(2x) + 2B \cos(2x)) - 2(A \cos(2x) + B \sin(2x)) = 4\sin(2x) 

Упростим:

 (-4A - 2B) \cos(2x) + (-4B + 2A - 2B) \sin(2x) = 4\sin(2x) 

 (-4A - 2B) \cos(2x) + (2A - 6B) \sin(2x) = 4\sin(2x) 

Приравниваем коэффициенты:

1. -4A - 2B = 0
2. 2A - 6B = 4

Решим систему:

Из первого уравнения:

-4A = 2B \Rightarrow A = -\frac{1}{2}B

Подставим во второе:

2(-\frac{1}{2}B) - 6B = 4 \Rightarrow -B - 6B = 4 \Rightarrow -7B = 4 \Rightarrow B = -\frac{4}{7}

Тогда:

A = -\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{4}{7}\right) = \frac{2}{7}

Частное решение:

y_p(x) = \frac{2}{7} \cos(2x) - \frac{4}{7} \sin(2x)

Шаг 3: Общее решение уравнения

 y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} + \frac{2}{7} \cos(2x) - \frac{4}{7} \sin(2x) 

✅ Ответ:

 y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} + \frac{2}{7} \cos(2x) - \frac{4}{7} \sin(2x}