Найти частное решение линейного однородной уравнения с заданным начальники условиями

Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Чтобы решить его, требуется найти общее решение с помощью характеристического уравнения, а затем использовать начальные условия для нахождения частного решения.

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Уравнение имеет вид: $\text{[}{y}^{″}+4y^{\prime }+29y=0\text{]}$, где $\text{(}y(0)=0\text{)}$ и $\text{(}{y}^{\prime }(0)=15\text{)}$.

Шаг 1: Находим характеристическое уравнение

Для однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами характеристическое уравнение имеет вид: $\text{[}{r}^2+4r+29=0\text{]}$

Это квадратное уравнение относительно $\text{(}r\text{)}$.

Шаг 2: Решаем характеристическое уравнение

Используем формулу для решения квадратных уравнений: $\text{[}r=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\text{]}$ где $\text{(}a=1\text{)}$, $\text{(}b=4\text{)}$, $\text{(}c=29\text{)}$.

Подставляем значения:

$\text{[}r=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 29}}{2\cdot 1}\text{]}$

$\text{[}r=\frac{-4\pm \sqrt{16-116}}{2}\text{]}$

$\text{[}r=\frac{-4\pm \sqrt{-100}}{2}\text{]}$

$\text{[}r=\frac{-4\pm 10i}{2}\text{]}$

$\text{[}r=-2\pm 5i\text{]}$

Шаг 3: Записываем общее решение

Так как корни характеристического уравнения имеют вид $\text{(}r=-2\pm 5i\text{)}$, то общее решение однородного уравнения будет:

$\text{[}y(t)=e^{-2t}(c_1\cos (5t)+c_2\sin (5t))\text{]}$

где $\text{(}{c}_1\text{)}$ и $\text{(}{c}_2\text{)}$ — константы, которые мы найдем с использованием начальных условий.

Шаг 4: Применяем начальные условия

Первое начальное условие: $\text{(}y(0)=0\text{)}$

Подставляем $\text{(}t=0\text{)}$ в общее решение:

$\text{[}y(0)=e^0(c_1\cos (0)+c_2\sin (0))=c_1\text{]}$

Так как $\text{(}y(0)=0\text{)}$, мы получаем:

$\text{[}{c}_1=0\text{]}$

Теперь наше решение принимает вид: $\text{[}y(t)=e^{-2t}{c}_2\sin (5t)\text{]}$

Второе начальное условие: $\text{(}{y}^{\prime }(0)=15\text{)}$

Найдём производную $\text{(}{y}^{\prime }(t)\text{)}$. Для этого воспользуемся правилом произведения:

$\text{[}y(t)=e^{-2t}{c}_2\sin (5t)\text{]}$

Найдём производную:

$\text{[}{y}^{\prime }(t)=\frac{d}{dt}(e^{-2t}\sin (5t))\text{]}$

Применяя правило произведения, получаем:

$\text{[}{y}^{\prime }(t)=e^{-2t}{c}_2\cdot \frac{d}{dt}(\sin (5t))+\frac{d}{dt}(e^{-2t})\cdot \sin (5t)\text{]}$

$\text{[}{y}^{\prime }(t)=e^{-2t}{c}_2\cdot 5\cos (5t)-2e^{-2t}{c}_2\sin (5t)\text{]}$

$\text{[}{y}^{\prime }(t)=e^{-2t}{c}_2\cdot (5\cos (5t)-2\sin (5t))\text{]}$

Теперь подставляем $\text{(}t=0\text{)}$ и используем начальное условие $\text{(}{y}^{\prime }(0)=15\text{)}$:

$\text{[}{y}^{\prime }(0)=e^0{c}_2\cdot (5\cos (0)-2\sin (0))=c_2\cdot 5\text{]}$

Так как $\text{(}{y}^{\prime }(0)=15\text{)}$, мы получаем:

$\text{[}5c_2=15\text{]}$

$\text{[}{c}_2=3\text{]}$

Шаг 5: Частное решение

Теперь, когда мы знаем $\text{(}{c}_2\text{)}$, можем записать частное решение уравнения:

Ответ: Частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями:

$\text{[}y(t)=3e^{-2t}\sin (5t)\text{]}$