Найти частное решение линейного однородной уравнения с заданным начальники условиями

Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Чтобы решить его, требуется найти общее решение с помощью характеристического уравнения, а затем использовать начальные условия для нахождения частного решения.

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Уравнение имеет вид: \[ y'' + 4y' + 29y = 0 \], где \( y(0) = 0 \) и \( y'(0) = 15 \).

Шаг 1: Находим характеристическое уравнение

Для однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами характеристическое уравнение имеет вид: \[ r^2 + 4r + 29 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( r \).

Шаг 2: Решаем характеристическое уравнение

Используем формулу для решения квадратных уравнений: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = 29 \).

Подставляем значения:

\[ r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}{2 \cdot 1} \]

\[ r = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 116}}{2} \]

\[ r = \frac{-4 \pm \sqrt{-100}}{2} \]

\[ r = \frac{-4 \pm 10i}{2} \]

\[ r = -2 \pm 5i \]

Шаг 3: Записываем общее решение

Так как корни характеристического уравнения имеют вид \( r = -2 \pm 5i \), то общее решение однородного уравнения будет:

\[ y(t) = e^{-2t}(c_1 \cos(5t) + c_2 \sin(5t)) \]

где \( c_1 \) и \( c_2 \) — константы, которые мы найдем с использованием начальных условий.

Шаг 4: Применяем начальные условия

Первое начальное условие: \( y(0) = 0 \)

Подставляем \( t = 0 \) в общее решение:

\[ y(0) = e^{0}(c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0)) = c_1 \]

Так как \( y(0) = 0 \), мы получаем:

\[ c_1 = 0 \]

Теперь наше решение принимает вид: \[ y(t) = e^{-2t}c_2 \sin(5t) \]

Второе начальное условие: \( y'(0) = 15 \)

Найдём производную \( y'(t) \). Для этого воспользуемся правилом произведения:

\[ y(t) = e^{-2t}c_2 \sin(5t) \]

Найдём производную:

\[ y'(t) = \frac{d}{dt}\left(e^{-2t} \sin(5t)\right) \]

Применяя правило произведения, получаем:

\[ y'(t) = e^{-2t}c_2 \cdot \frac{d}{dt}(\sin(5t)) + \frac{d}{dt}(e^{-2t}) \cdot \sin(5t) \]

\[ y'(t) = e^{-2t}c_2 \cdot 5\cos(5t) - 2e^{-2t}c_2 \sin(5t) \]

\[ y'(t) = e^{-2t}c_2 \cdot (5\cos(5t) - 2\sin(5t)) \]

Теперь подставляем \( t = 0 \) и используем начальное условие \( y'(0) = 15 \):

\[ y'(0) = e^{0}c_2 \cdot (5 \cos(0) - 2 \sin(0)) = c_2 \cdot 5 \]

Так как \( y'(0) = 15 \), мы получаем:

\[ 5c_2 = 15 \]

\[ c_2 = 3 \]

Шаг 5: Частное решение

Теперь, когда мы знаем \( c_2 \), можем записать частное решение уравнения:

Ответ: Частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями:

\[ y(t) = 3e^{-2t} \sin(5t) \]