Найти частное решение линейного однородного уравнения с заданными начальными условиями

Задание из предмета "Дифференциальные уравнения", раздел — "Решение линейных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами".

Дано однородное дифференциальное уравнение третьего порядка: \[ y''' - 3y' + 2y = 0, \] с начальными условиями: \[ y(0) = 0, \quad y'(0) = 5, \quad y''(0) = 1. \]

Шаг 1: Найдем общее решение дифференциального уравнения

Для начала ищем характеристическое уравнение, которое соответствует данному дифференциальному уравнению. Для уравнения вида \( y''' - 3y' + 2y = 0 \), характеристическое уравнение получается из замены \( y \) на \( e^{\lambda x} \), что приводит к следующему уравнению: \[ \lambda^3 - 3\lambda + 2 = 0. \]

Решим характеристическое уравнение. Попробуем найти корни угадыванием. Для \( \lambda = 1 \): \[ 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0. \] Таким образом, \( \lambda = 1 \) - это корень уравнения.

Теперь разделим характеристическое уравнение на \( (\lambda - 1) \) с помощью деления многочленов. Остаток характеристического уравнения — это: \[ \lambda^3 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 1)(\lambda^2 + \lambda - 2). \]

Теперь решим квадратное уравнение \( \lambda^2 + \lambda - 2 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9. \] Тогда корни: \[ \lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}. \] Получаем корни \( \lambda_2 = 1 \) и \( \lambda_3 = -2 \).

Шаг 2: Запишем общее решение уравнения

Поскольку \( \lambda_2 = \lambda_1 = 1 \) — это кратный корень, то решение общее будет выглядеть следующим образом: \[ y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{x} + C_3 e^{-2x}. \]

Шаг 3: Используем начальные условия

Теперь применим начальные условия для нахождения коэффициентов \( C_1 \), \( C_2 \) и \( C_3 \).

1. \( y(0) = 0 \): \[ y(0) = (C_1 + C_2 \cdot 0)e^0 + C_3 e^0 = C_1 + C_3 = 0, \] то есть \( C_1 + C_3 = 0 \), отсюда \( C_1 = -C_3 \).

2. \( y'(x) = (C_1 + C_2 x) e^{x} + C_2 e^{x} + (-2)C_3 e^{-2x} \): Подставим \( y'(0) = 5 \): \[ y'(0) = (C_1 + C_2 \cdot 0) e^0 + C_2 e^0 + (-2) C_3 e^0 = C_1 + C_2 - 2C_3 = 5. \] Так как \( C_1 = -C_3 \), подставим это в уравнение: \[ -C_3 + C_2 - 2C_3 = 5, \quad -3C_3 + C_2 = 5. \] Это уравнение мы оставляем для последующего решения.

3. \( y''(x) = (C_1 + C_2 x) e^x + 2C_2 e^x + 4C_3 e^{-2x} \): Подставим \( y''(0) = 1 \): \[ y''(0) = (C_1 + C_2 \cdot 0)e^0 + 2C_2 e^0 + 4C_3 e^0 = C_1 + 2C_2 + 4C_3 = 1. \] Подставим \( C_1 = -C_3 \): \[ -C_3 + 2C_2 + 4C_3 = 1, \quad 3C_3 + 2C_2 = 1. \]

Шаг 4: Решаем систему уравнений