Найти частное решение линейного неоднородного уравнения

Определение предмета и раздела:

Данное задание относится к курсу Высшей математики, разделу Дифференциальные уравнения, а конкретнее, к решению линейных неоднородных дифференциальных уравнений. Мы имеем линейное дифференциальное уравнение с неоднородной частью: \[ y''' - 4y' = \sin x \]

Раздельные шаги решения:

1. Запишем уравнение и понятия: \[ y''' - 4y' = \sin x \] Это неоднородное линейное уравнение третьего порядка. В левой части уравнения содержатся производные функции \(y(x)\), а в правой части находится синус, который является неоднородной функцией. Здесь идеальным образом подойдёт метод нахождения частного решения с помощью метода предварительных попыток.

Шаг 1: Решение однородного уравнения.

Рассмотрим однородную часть уравнения, где правая часть отсутствует: \[ y''' - 4y' = 0 \] Это однородное линейное дифференциальное уравнение: \[ y''' - 4y' = 0 \] Для решения удобно ввести замену \( v = y' \). Тогда уравнение примет вид: \[ v'' - 4v = 0 \] где \(v\) — неизвестная функция. Это уже линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно функции \(v(x)\). Характеристическое уравнение будет таким: \[ r^2 - 4 = 0 \] Решая это уравнение, получаем корни: \[ r_1 = 2, \quad r_2 = -2 \] Так как у нас два различных действительных корня, общее решение для \(v(x)\) имеет вид: \[ v(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \] Поскольку \( v = y' \), мы можем найти общее решение для \(y(x)\), интегрируя \(v(x)\): \[ y(x) = \int v(x) \, dx = \int \big(C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\big) dx = \frac{C_1}{2} e^{2x} - \frac{C_2}{2} e^{-2x} + C_3 \] Таким образом, общее решение однородного уравнения: \[ y_h(x) = \frac{C_1}{2} e^{2x} - \frac{C_2}{2} e^{-2x} + C_3 \]

Шаг 2: Найдём частное решение неоднородного уравнения.

Для поиска частного решения воспользуемся методом пробных функций. Для правой части неоднородного уравнения \( \sin x \), предполагаемое частное решение часто записывают в виде суммы тригонометрических функций: \[ y_p(x) = A \sin x + B \cos x \] Нам нужно найти коэффициенты \(A\) и \(B\). Подставим это пробное решение в исходное дифференциальное уравнение: \[ y'''_p - 4y'_p = \sin x \] Сначала вычислим производные:

1. \( y_p(x) = A \sin x + B \cos x \)
2. \( y'_p(x) = A \cos x - B \sin x \)
3. \( y''_p(x) = -A \sin x - B \cos x \)
4. \( y'''_p(x) = -A \cos x + B \sin x \)

Теперь подставим эти производные в исходное уравнение: \[ (-A \cos x + B \sin x) - 4(A \cos x - B \sin x) = \sin x \] Сгруппируем члены с \( \sin x \) и \( \cos x \): \[ (-A - 4A) \cos x + (B + 4B) \sin x = \sin x \] Получаем систему уравнений:

1. Для \( \sin x \): \( 5B = 1 \) ⟹ \( B = \frac{1}{5} \)
2. Для \( \cos x \): \( -5A = 0 \) ⟹ \( A = 0 \)

Таким образом, частное решение: \[ y_p(x) = \frac{1}{5} \cos x \]

Шаг 3: Общее решение уравнения.

Теперь, найдя и общее решение однородного уравнения \( y_h(x) \), и частное решение \( y_p(x) \), можем записать общее решение: \[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) \] Т.е. общее решение будет равняться: \[ y(x) = \frac{C_1}{2} e^{2x} - \frac{C_2}{2} e^{-2x} + C_3 + \frac{1}{5} \cos x \]

Ответ:

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения: \[ y(x) = \frac{C_1}{2} e^{2x} - \frac{C_2}{2} e^{-2x} + C_3 + \frac{1}{5} \cos x \]