Найти частное решение и значение функции

Это задание относится к предмету "Математика", разделу "Дифференциальные уравнения".

Дано дифференциальное уравнение \( y' = \frac{\tan x}{y} \) с начальными условиями \( y(0) = 1 \).

1. Разделим переменные: Перепишем уравнение так, чтобы переменные \( y \) и \( x \) были разделены: \[ y \, dy = \tan x \, dx \]
2. Проинтегрируем обе части уравнения: Для интегрирования обеих частей, нам нужно найти первообразные функций: \[ \int y \, dy = \int \tan x \, dx \] Первая часть интегрирования следующая: \[ \int y \, dy = \frac{y^2}{2} + C_1 \] Вторая часть интегрирования воспользуемся тем, что \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\): \[ \int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = -\ln|\cos x| + C_2 \] Соединяя это вместе, получаем: \[ \frac{y^2}{2} = -\ln|\cos x| + C \]
3. Используем начальные условия \( y(0) = 1 \) для нахождения константы \( C \): Подставим \( x = 0 \) и \( y = 1 \) в интеграл: \[ \frac{1^2}{2} = -\ln|\cos 0| + C \Rightarrow \frac{1}{2} = -\ln(1) + C \] Поскольку \(\ln(1) = 0\), то: \[ C = \frac{1}{2} \]
4. Найдем частное решение: Получив константу, перепишем уравнение: \[ \frac{y^2}{2} = -\ln|\cos x| + \frac{1}{2} \] Умножим все уравнение на 2: \[ y^2 = -2\ln|\cos x| + 1 \] Таким образом, выражение для \( y \) будет: \[ y = \pm \sqrt{1 - 2\ln|\cos x|} \]
5. Вычислим значение функции при \( x = \frac{\pi}{3} \): \[ y \left( \frac{\pi}{3} \right) = \pm \sqrt{1 - 2\ln|\cos \frac{\pi}{3}|} \] Поскольку \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \): \[ y \left( \frac{\pi}{3} \right) = \pm \sqrt{1 - 2\ln \left( \frac{1}{2} \right)} \] \[ \ln \left( \frac{1}{2} \right) = \ln 1 - \ln 2 = -\ln 2 \] Подставим значение логарифма: \[ y \left( \frac{\pi}{3} \right) = \pm \sqrt{1 + 2\ln 2} \] Используя численное значение \( \ln 2 \approx 0.693 \): \[ y \left( \frac{\pi}{3} \right) = \pm \sqrt{1 + 2 \cdot 0.693} = \pm \sqrt{1 + 1.386} = \pm \sqrt{2.386} \approx \pm 1.545 \] Таким образом, правильный ответ — \( \pm 1.545 \).