Найти частное решение и вычислить значение при значениях x

Этот вопрос относится к предмету "Дифференциальные уравнения", который является разделом "Математического анализа".

Задано дифференциальное уравнение и соответствующие начальные условия: \[ y'' + 6y' + 9y = (48x + 8)e^x, \] \[ y(0) = 0, \] \[ y'(0) = 1. \] Пошагово решим данное уравнение.

1. Решим однородное уравнение: \[ y'' + 6y' + 9y = 0. \] Характеристическое уравнение: \[ r^2 + 6r + 9 = 0. \] Это квадратное уравнение можно решить через дискриминант: \[ \Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0. \] Поскольку дискриминант равен нулю, у уравнения один корень кратности 2: \[ r = -3. \] Соответственно, общее решение однородного уравнения: \[ y_h(x) = (C_1 + C_2x)e^{-3x}. \]
2. Найдем частное решение, \(y_p(x)\), для неоднородного уравнения: \[ y'' + 6y' + 9y = (48x + 8)e^x. \] Частное решение предполагается в форме: \[ y_p = (Ax + B)e^x. \] Вычислим первую и вторую производные: \[ y_p' = (Ax + B)'e^x + (Ax + B)(e^x)' = A e^x + (Ax + B)e^x = (Ax + 2A + B)e^x, \] \[ y_p'' = (Ax + 2A + B)'e^x + (Ax + 2A + B)(e^x)' = A e^x + (Ax + 2A + B)e^x = (Ax + 3A + B)e^x. \] Подставляем в уравнение: \[ (Ax + 3A + B)e^x + 6(Ax + 2A + B)e^x + 9(Ax + B)e^x = (48x + 8)e^x. \] Группируем: \[ (Ax + 3A + B) + 6(Ax + 2A + B) + 9(Ax + B) = 48x + 8. \] \[ (A + 6A + 9A)x + (3A + B + 12A + 6B + 9B) = 48x + 8. \] \[ 16Ax + (15A + 16B) = 48x + 8. \] Таким образом, получаем систему: \[ 16A = 48, \] \[ 15A + 16B = 8. \] Решим систему: \[ A = 3, \] \[ 15 \cdot 3 + 16B = 8, \] \[ 45 + 16B = 8, \] \[ 16B = -37, \] \[ B = -\frac{37}{16}. \] Частное решение: \[ y_p = \left(3x - \frac{37}{16}\right)e^x. \]
3. Общее решение уравнения: \[ y(x) = y_h + y_p = (C_1 + C_2x)e^{-3x} + \left(3x - \frac{37}{16}\right)e^x. \]
4. Учтем начальные условия: Подставим начальные условия \(y(0) = 0\) и \(y'(0) = 1\). \( y(0) = (C_1)e^0 + \left(-\frac{37}{16}\right)e^0 = 0 \rightarrow C_1 - \frac{37}{16} = 0 \rightarrow C_1 = \frac{37}{16}. \) Нахождение производной: \[ y'(x) = -3(C_1 + C_2x)e^{-3x} + C_2e^{-3x} + 3e^x + \left(3x - \frac{37}{16}\right)e^x. \] \[ y'(x) = \left(-3C_1 - 3C_2x + C_2 + 3e^{4x} + 3x - \frac{37}{16}\right)e^x. \] \[ y'(0) = 1. \] Подставим: \[ y'(0) = -3 \cdot \frac{37}{16} + C_2 + 3 = 1 \rightarrow - \frac{111}{16} + C_2 + 3 = 1 \rightarrow C_2 - \frac{63}/16 = 1. \] Решение: \[ C_2 = \frac{79}{16}. \]
5. Итоговое решение уравнения: \[ y(x) = \left(\frac{37}{16} + \frac{79}{16}x\right)e^{-3x} + \left(3x - \frac{37}{16}\right)e^x. \]
6. Вычислим значение при \(x = 2\): \[ y(2) = \left(\frac{37}{16} + \frac{79}{16} \cdot 2\right)e^{-6} + \left(3 \cdot 2 - \frac{37}{16}\right)e^2. \] \[ y(2) = \left(\frac{195}{16}\right)e^{-6} + \left(\frac{96}{16} - \frac{37}{16}\right)e^2. \] \[ y(2) = \left(\frac{195}{16}\right)e^{-6} + \left(\frac{59}{16}\right)e^2. \] Используйте точное значение экспонент: \[ y(2) = \left(\frac{195}{16}\right)\left(\frac{1}{e^6}\right) + \left(\frac{59}{16}\right)e^2. \] После вычисления и округления до целого числа: \[ y(2) \approx 21,923. \] Ответ: \(\boxed{21,923}\).