Найти частное решение и вычислить значение при x

Предмет: Дифференциальные уравнения (раздел математики)

Задание: Найти частное решение дифференциального уравнения \( 3y'' + 4y' - 15y = 0 \) с начальными условиями \( y(0) = 1 \) и \( y'(0) = 1 \) и вычислить значение полученной функции при \( x_0 = 1 \).

Решение: Мы начнем с поиска общего решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка: \[ 3y'' + 4y' - 15y = 0. \] Для этого найдем характеристическое уравнение: \[ 3r^2 + 4r - 15 = 0. \] Применим формулу решения квадратного уравнения \( ar^2 + br + c = 0 \):

\[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = 3 \), \( b = 4 \), \( c = -15 \). Подставим значения: \[ r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15)}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{196}}{6} = \frac{-4 \pm 14}{6}. \] Теперь найдем корни: \[ r_1 = \frac{-4 + 14}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}, \quad r_2 = \frac{-4 - 14}{6} = \frac{-18}{6} = -3. \] Таким образом, общим решением дифференциального уравнения является: \[ y(x) = C_1 e^{\frac{5}{3}x} + C_2 e^{-3x}. \]

Начальные условия:

1. \[ y(0) = C_1 e^{\frac{5}{3} \cdot 0} + C_2 e^{-3 \cdot 0} = C_1 + C_2 = 1. \]
2. Для этого найдем производную \( y(x) \): \[ y'(x) = C_1 \cdot \frac{5}{3} e^{\frac{5}{3}x} - 3C_2 e^{-3x}. \] При \( x = 0 \): \[ y'(0) = C_1 \cdot \frac{5}{3} \cdot e^{\frac{5}{3} \cdot 0} - 3C_2 \cdot e^{-3 \cdot 0} = \frac{5}{3}C_1 - 3C_2 = 1. \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( C_1 + C_2 = 1 \)
2. \( \frac{5}{3}C_1 - 3C_2 = 1 \)

Решим эту систему уравнений. Сначала умножим первое уравнение на 3: \( 3C_1 + 3C_2 = 3 \). Теперь у нас есть:

1. \( 3C_1 + 3C_2 = 3 \)
2. \( 5C_1 - 9C_2 = 3 \)

Теперь умножим каждое уравнение на коэффициенты: \( 9C1-9C2 = 3 \), добавим: \( 9C1+3C2 = 9 \), отсюда находим: \( 14C1 = 12 \) \( \Rightarrow C1 = 13/14 \) и далее \( 3C2 = 1 \). Теперь мы нашли \( C_1 \) и теперь имеем первый опыт Теперь \( y(x) = C_1 e^{0.3733x} + C_2 e^{-3x} = 0.92857142 e^{0.3733 \cdot 1} + \frac{1}{3} e^{-3 \cdot 1} \) и в данном случае Ответ: c \( 0.473 \).