Найти частное решение и вычислить значение функции

Это задание по предмету "Дифференциальные уравнения" из раздела "Линейные дифференциальные уравнения второго порядка".

Дано дифференциальное уравнение: \[ y'' - 2y' + y = 0 \] и начальные условия: \[ y(0) = 0, \quad y'(0) = 1 \] Необходимо найти частное решение уравнения и вычислить значение функции при \( x_0 = 3 \).

1. Решение характеристического уравнения: Для нахождения общего решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка нужно решить характеристическое уравнение: \[ r^2 - 2r + 1 = 0 \]
2. Решение характеристического уравнения: Решим уравнение: \[ r^2 - 2r + 1 = 0 \] Это квадратное уравнение можно переписать как: \[ (r - 1)^2 = 0 \] Таким образом, корень характеристического уравнения будет: \[ r = 1 \]
3. Общее решение: Так как корень двойной, общее решение уравнения будет иметь вид: \[ y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{rx} \] Подставим \( r = 1 \): \[ y(x) = (C_1 + C_2 x) e^x \]
4. Начальные условия: Используем начальные условия \( y(0) = 0 \) и \( y'(0) = 1 \): \[ y(0) = (C_1 + C_2 \cdot 0) e^0 = C_1 = 0 \] \[ y'(x) = C_2 e^x + (C_1 + C_2 x) e^x \] \[ y'(x) = C_2 e^x + C_2 x e^x \] Подставим начальные условия: \[ y'(0) = C_2 e^0 = 1 \] \[ C_2 = 1 \] Таким образом, общее решение: \[ y(x) = x e^x \]
5. Найдем значение функции при \( x_0 = 3 \): \[ y(3) = 3 e^3 \] Это окончательный ответ.