Найти частное решение и вычислить производную

Задание относится к учебному предмету "Математика", разделу "Дифференциальные уравнения".

Задание: Найти частное решение дифференциального уравнения \(xy' - y = x \ln x\) при \(y(1) = 0\) и вычислить производную \(y'(e)\).

Шаги решения:

1. Перепишем уравнение: \(xy' - y = x \ln x\).
2. Решим это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Преобразуем его в стандартный вид: \[ y' - \frac{y}{x} = \ln x. \]
3. Найдём интегрирующий множитель \(\mu(x)\): \[ \mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}. \]
4. Умножаем обе части дифференциального уравнения на интегрирующий множитель: \[ \frac{1}{x} y' - \frac{1}{x^2} y = \frac{\ln x}{x}. \]
5. Можно заметить, что левая часть уравнения является производной произведения \(\left( \frac{y}{x} \right)\): \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right) = \frac{\ln x}{x}. \]
6. Интегрируя обе части по \(x\): \[ \frac{y}{x} = \int \frac{\ln x}{x} dx. \]
7. Используем подстановку для интегрирования правой части (метод интегрирования по частям). Пусть \(u = \ln x\), тогда \(du = \frac{1}{x} dx\), и \(dv = \frac{1}{x} dx\), тогда \(v = \ln x\): \[ \int u dv = uv - \int v du. \] \[ \int \ln x \cdot \frac{1}{x} dx = \ln x \cdot \ln x - \int \frac{\ln x}{x} dx. \] Решим это: \[ \frac{y}{x} = \int \frac{\ln x}{x} dx = \frac{\ln^2 x}{2} + C. \]
8. Умножаем обе стороны на \(x\), получаем: \[ y = x \left( \frac{\ln^2 x}{2} + C \right). \]
9. Используем начальное условие \(y(1) = 0\): \[ 0 = 1 \cdot \left( \frac{\ln^2 1}{2} + C \right) = 0 \times \frac{0^2}{2} + C \implies C = 0. \] Таким образом, частное решение: \[ y = \frac{x \ln^2 x}{2}. \]
10. Теперь найдём производную \(y'(x)\): \[ y(x) = \frac{x \ln^2 x}{2}. \] Используем правила дифференцирования (производная произведения): \[ y'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x \ln^2 x}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \ln^2 x + 2x \cdot \frac{\ln x}{x} \right). \] \[ y'(x) = \frac{1}{2} \left( \ln^2 x + 2 \ln x \right). \] \[ y'(x) = \frac{1}{2} \ln x (\ln x + 2). \]
11. Теперь вычислим \(y'(e)\): \[ y'(e) = \frac{1}{2} \ln e (\ln e + 2). \] Поскольку \( \ln e = 1 \): \[ y'(e) = \frac{1}{2} \cdot 1 (1 + 2) = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3/2}. \]

Ответ: \( \frac{3}{2} \).