Найти частное решение дифференциальных уравнений удовлетворяющих начальным условиям

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
y'' - 6y' + 9y = x^2 - x + 3
с начальными условиями:
y(0) = \frac{4}{3}, \quad y'(0) = \frac{1}{27}.

Решение:
Рассмотрим общее решение уравнения как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

1. Решение однородного уравнения

Рассмотрим характеристическое уравнение:
\lambda^2 - 6\lambda + 9 = 0
Разложим на множители:
(\lambda - 3)^2 = 0
Отсюда корень:
\lambda = 3 (двукратный).

Общее решение однородного уравнения:
y_h = (C_1 + C_2 x)e^{3x}.

2. Частное решение неоднородного уравнения

Правая часть уравнения — это многочлен x^2 - x + 3, поэтому будем искать частное решение в виде многочлена второй степени:
y_p = Ax^2 + Bx + C.

Подставим в уравнение:
y_p' = 2Ax + B,
y_p'' = 2A.

Подставляем в исходное уравнение:
2A - 6(2Ax + B) + 9(Ax^2 + Bx + C) = x^2 - x + 3.

Раскрываем скобки:
2A - 12Ax - 6B + 9Ax^2 + 9Bx + 9C = x^2 - x + 3.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

• При x^2: 9A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{9}.
• При x: -12A + 9B = -1. Подставляем A = \frac{1}{9}:
  -\frac{12}{9} + 9B = -1,
  9B = -1 + \frac{12}{9} = \frac{9}{9} = 1,
  B = \frac{1}{9}.
• При свободном члене: 2A - 6B + 9C = 3. Подставляем A = \frac{1}{9} и B = \frac{1}{9}:
  \frac{2}{9} - \frac{6}{9} + 9C = 3,
  9C = 3 + \frac{4}{9} = \frac{27}{9} + \frac{4}{9} = \frac{31}{9},
  C = \frac{31}{81}.

Таким образом, частное решение:
y_p = \frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{9}x + \frac{31}{81}.

3. Общее решение

y = (C_1 + C_2 x)e^{3x} + \frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{9}x + \frac{31}{81}.

4. Определение констант C_1 и C_2

Используем начальные условия:

1. Подставляем x = 0 в y(0) = \frac{4}{3}:
   (C_1 + 0)e^0 + \frac{1}{9}(0)^2 + \frac{1}{9}(0) + \frac{31}{81} = \frac{4}{3}.
   C_1 + \frac{31}{81} = \frac{4}{3}.
   Переведем \frac{4}{3} к знаменателю 81:
   \frac{4}{3} = \frac{108}{81}.
   C_1 = \frac{108}{81} - \frac{31}{81} = \frac{77}{81}.

2. Подставляем x = 0 в y'(0) = \frac{1}{27}:
   y' = (C_1 + C_2 x)'e^{3x} + (C_1 + C_2 x) 3e^{3x} + \left(\frac{2}{9}x + \frac{1}{9}\right).
   y' = C_2 e^{3x} + 3(C_1 + C_2 x)e^{3x} + \frac{2}{9}x + \frac{1}{9}.
   При x = 0:
   C_2 e^0 + 3C_1 e^0 + \frac{2}{9}(0) + \frac{1}{9} = \frac{1}{27}.
   C_2 + 3C_1 + \frac{1}{9} = \frac{1}{27}.
   Выразим C_2:
   C_2 = \frac{1}{27} - \frac{1}{9} - 3C_1.
   Приведем к общему знаменателю:
   \frac{1}{27} - \frac{3}{27} - 3C_1 = -\frac{2}{27} - 3C_1.
   Подставляем C_1 = \frac{77}{81}:
   C_2 = -\frac{2}{27} - 3 \cdot \frac{77}{81}.
   C_2 = -\frac{2}{27} - \frac{231}{81}.
   C_2 = -\frac{6}{81} - \frac{231}{81} = -\frac{237}{81} = -\frac{79}{27}.

5. Частное решение

y = \left(\frac{77}{81} - \frac{79}{27}x\right)e^{3x} + \frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{9}x + \frac{31}{81}.

Это и есть искомое частное решение дифференциального уравнения. ✅