Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, допускающего понижение порядка

Определение предмета и раздела задания:

Задание относится к предмету "Математика", конкретно к разделу "Дифференциальные уравнения" (решение дифференциальных уравнений второго порядка).

Шаг 1: Распознаем структуру диаграммы

Нам дано дифференциальное уравнение второго порядка:

\[ y'' = x e^x \]

и начальные условия:

\[ y(0) = 1 \quad \text{и} \quad y'(0) = 0. \]

Задача состоит в нахождении частного решения этого уравнения.

Шаг 2: Понижение порядка уравнения

Понижаем порядок дифференциального уравнения. Для этого введем новую переменную:

\[ y' = v(x), \]

где \(v(x)\) — первая производная \(y\), т.е. \(y'(x)\). Дифференцируя \(v(x)\), получаем:

\[ y'' = v'(x). \]

Тогда исходное уравнение перепишется как:

\[ v'(x) = x e^x. \]

Шаг 3: Интегрирование для нахождения \(v(x)\)

Теперь нам нужно найти \(v(x)\), решив уравнение:

\[ v'(x) = x e^x. \]

Чтобы найти \(v(x)\), проинтегрируем правую часть уравнения:

\[ v(x) = \int x e^x \, dx. \]

Это определённый интеграл, который можно взять по методу интегрирования по частям. Используем следующие обозначения для метода интегрирования по частям:

\[ u = x, \quad dv = e^x \, dx. \]

Тогда находим производную \(u\) и определяем интеграл от \(dv\):

\[ du = dx, \quad v = e^x. \]

Интеграл по частям записывается как:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du. \]

Подставляем наши \(u\), \(v\), \(du\) и \(dv\):

\[ \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx. \]

Интеграл от \(e^x\) равен \(e^x\), поэтому:

\[ \int x e^x \, dx = x e^x - e^x + C_1 = e^x (x - 1) + C_1. \]

Таким образом, получаем:

\[ v(x) = e^x (x - 1) + C_1. \]

Шаг 4: Интегрирование для нахождения \(y(x)\)

Теперь мы знаем, что \(y'(x) = v(x)\), и можем найти \(y(x)\), проинтегрировав выражение:

\[ y(x) = \int v(x) \, dx = \int \left( e^x (x - 1) + C_1 \right) \, dx. \]

Интегрируем:

\[ y(x) = \int e^x (x - 1) \, dx + \int C_1 \, dx. \]

Для первого интеграла уже использовался метод интегрирования по частям:

\[ \int e^x (x - 1) \, dx = e^x (x - 2) + C_2. \]

Таким образом, получаем:

\[ y(x) = e^x (x - 2) + C_1 x + C_2. \]

Шаг 5: Применение начальных условий

Теперь используем начальные условия \(y(0) = 1\) и \(y'(0) = 0\) для нахождения констант \(C_1\) и \(C_2\).

1. Из условия \(y'(0) = 0\), подставляем \(x = 0\) в выражение для \(v(x)\):

\[ y'(0) = v(0) = e^0 (0 - 1) + C_1 = -1 + C_1 = 0. \]

Отсюда находим:

\[ C_1 = 1. \]

2. Используем условие \(y(0) = 1\), подставляя \(x = 0\) в выражение для \(y(x)\):

\[ y(0) = e^0 (0 - 2) + 1 \cdot 0 + C_2 = -2 + C_2 = 1. \]

\[ C_2 = 3. \]

Шаг 6: Запись окончательного решения

Окончательное частное решение задачи:

Это и есть частное решение дифференциального уравнения с указанными начальными условиями.

Ответ:

\[ y(x) = e^x (x - 2) + x + 3. \]