Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка с заданными начальными условиями

Данное задание относится к области дифференциальных уравнений, предмет математика. Нужно найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка с заданными начальными условиями.

1. Решение однородного уравнения:

Рассмотрим уравнение \(y'' = 0\). Вначале решим однородное уравнение: \(y'' = 0\). Их характеристическое уравнение имеет вид: \[ r^2 = 0. \] Корни этого уравнения: \(r = 0\) (два одинаковых корня). Таким образом, общее решение однородного уравнения: \[ y_h(x) = C_1 + C_2 x. \]

2. Найти частное решение конкретного уравнения:

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения \(y'' = x e^{-2x}\). Попробуем найти частное решение методом неопределённых коэффициентов. Уравнение имеет вид: \[ y'' = x e^{-2x}. \] Предположим частное решение в виде: \[ y_p(x) = A e^{-2x} + B x e^{-2x}. \] Тогда первая производная: \[ y_p'(x) = -2A e^{-2x} + B e^{-2x} - 2B x e^{-2x}, \] и вторая производная: \[ y_p''(x) = 4A e^{-2x} - 4B e^{-2x} + 4B x e^{-2x}. \] Подставим \(y_p''\) в исходное уравнение: \[ 4A e^{-2x} - 4B e^{-2x} + 4B x e^{-2x} = x e^{-2x}. \] Приравняем коэффициенты при \(e^{-2x}\) и \(x e^{-2x}\): \[ 4B = 1, \] откуда \(B = \frac{1}{4}\), и \[ 4A - 4B = 0, \] откуда \(A = B = \frac{1}{4}\). Таким образом, частное решение: \[ y_p(x) = \frac{1}{4} e^{-2x} + \frac{1}{4} x e^{-2x}. \]

3. Общее решение уравнения:

Общее решение неоднородного уравнения: \[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + C_2 x + \frac{1}{4} e^{-2x} + \frac{1}{4} x e^{-2x}. \]

4. Определение констант:

Найдем константы \(C_1\) и \(C_2\) из начальных условий: \[ y(0) = 1, \] \[ y'(0) = 1. \] Сначала найдём первую производную общего решения: \[ y'(x) = C_2 - \frac{1}{2} e^{-2x} + \frac{1}{4} e^{-2x} - \frac{1}{2} x e^{-2x}. \] Подставим \(x = 0\): \[ y(0) = C_1 + \frac{1}{4} = 1, \] откуда: \[ C_1 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}. \] Теперь первою производную: \[ y'(0) = C_2 - \frac{1}{4} = 1, \] откуда: \[ C_2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}. \] Таким образом, общее решение с найденными константами: \[ y(x) = \frac{3/4} + \frac{5/4} x + \frac{1/4} e^{-2x} + \frac{1/4} x e^{-2x}. \]

5. Вычислим \(y(4)\):

Подставим \(x = 4\) в найденное решение: \[ y(4) = \frac{3/4} + \frac{5/4} \times 4 + \frac{1/4} e^{-8} + e^{-8}. \] \[ y(4) = \frac{3/4} + 5 + \frac{1/4} e^{-8} + e^{-8}. \] Поскольку \(e^{-8}\) сильно мал, для практических целей ответ будет примерно: \[ y(4) \approx 5.75. \]

Ответ: \[ y(4) \approx 5.75. \]