Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка с начальными условиями

Предмет: Дифференциальные уравнения
Раздел: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и заданной правой частью (неоднородные уравнения)

Задание: Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка с начальными условиями:

y'' - 6y' + 9y = x^2 - x + 3,
y(0) = \frac{4}{3}, \quad y'(0) = \frac{1}{27}

Шаг 1: Решим соответствующее однородное уравнение

Рассмотрим однородное уравнение:

y'' - 6y' + 9y = 0

Характеристическое уравнение:

r^2 - 6r + 9 = 0

Решим его:

r = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2} = \frac{6}{2} = 3

Итак, корень кратный: r = 3

Общее решение однородного уравнения:

y_h(x) = (C_1 + C_2 x) e^{3x}

Шаг 2: Найдём частное решение неоднородного уравнения

Правая часть: x^2 - x + 3 — это многочлен второй степени. Частное решение ищем в виде:

y_p(x) = Ax^2 + Bx + C

Подставим y_p в левую часть уравнения:

Вычислим производные:

• y_p' = 2Ax + B
• y_p'' = 2A

Теперь подставим в уравнение:

y_p'' - 6y_p' + 9y_p = 2A - 6(2Ax + B) + 9(Ax^2 + Bx + C)

Раскроем скобки:

= 2A - 12Ax - 6B + 9Ax^2 + 9Bx + 9C

Соберем подобные члены:

= 9Ax^2 + (-12A + 9B)x + (2A - 6B + 9C)

Приравниваем к правой части уравнения x^2 - x + 3:

9A x^2 + (-12A + 9B)x + (2A - 6B + 9C) = x^2 - x + 3

Сравним коэффициенты:

1. 9A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{9}
2. -12A + 9B = -1 Подставим A = \frac{1}{9}: -12 \cdot \frac{1}{9} + 9B = -1 \Rightarrow -\frac{4}{3} + 9B = -1 \Rightarrow 9B = -1 + \frac{4}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow B = \frac{1}{27}
3. 2A - 6B + 9C = 3 Подставим A = \frac{1}{9}, B = \frac{1}{27}: 2 \cdot \frac{1}{9} - 6 \cdot \frac{1}{27} + 9C = 3 \frac{2}{9} - \frac{2}{9} + 9C = 3 \Rightarrow 9C = 3 \Rightarrow C = \frac{1}{3}

Итак, частное решение:

y_p(x) = \frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{27}x + \frac{1}{3}

Шаг 3: Общее решение уравнения

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = (C_1 + C_2 x)e^{3x} + \frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{27}x + \frac{1}{3}

Шаг 4: Используем начальные условия

Первое: y(0) = \frac{4}{3}

Подставим x = 0:

y(0) = (C_1 + 0)e^0 + 0 + 0 + \frac{1}{3} = C_1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow C_1 = 1

Второе: y'(0) = \frac{1}{27}

Вычислим производную:

y'(x) = \frac{d}{dx}[(C_1 + C_2 x)e^{3x}] + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{27}x + \frac{1}{3}\right)

Первая часть:

\frac{d}{dx}[(C_1 + C_2 x)e^{3x}] = (C_1 + C_2 x) \cdot 3e^{3x} + C_2 e^{3x} = [3(C_1 + C_2 x) + C_2]e^{3x}

Вторая часть:

\frac{2}{9}x + \frac{1}{27}

Итак:

y'(x) = [3(C_1 + C_2 x) + C_2]e^{3x} + \frac{2}{9}x + \frac{1}{27}

Подставим x = 0:

y'(0) = [3C_1 + C_2] \cdot 1 + 0 + \frac{1}{27} = 3C_1 + C_2 + \frac{1}{27}

Подставим y'(0) = \frac{1}{27} и C_1 = 1:

3 \cdot 1 + C_2 + \frac{1}{27} = \frac{1}{27} \Rightarrow 3 + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = -3

Ответ:

Частное решение задачи:

y(x) = (1 - 3x)e^{3x} + \frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{27}x + \frac{1}{3}