Найти частное решение дифференциального уравнения при условии y(1)=0

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Мы имеем дифференциальное уравнение:
x y' = \sqrt{x^2 + y^2} + y,
где начальное условие: y(1) = 0.

Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Мы найдем частное решение, используя метод разделения переменных или другой подход, если это возможно.

Шаг 1. Преобразуем уравнение

Перепишем уравнение в стандартной форме:
y' = \frac{\sqrt{x^2 + y^2} + y}{x}.

Шаг 2. Проверка начальных условий

Начальное условие гласит, что y(1) = 0. Это значит, что решение должно удовлетворять данному условию при подстановке.

Шаг 3. Замена переменных

Для упрощения решения введем замену переменных. Пусть:
y = x v, где v = v(x).

Тогда производная y' будет равна:
y' = v + x v'.

Подставим замену в исходное уравнение:
x(v + x v') = \sqrt{x^2 + (x v)^2} + x v.

Упростим правую часть:
\sqrt{x^2 + (x v)^2} = \sqrt{x^2(1 + v^2)} = x \sqrt{1 + v^2}.

Таким образом, уравнение становится:
x(v + x v') = x \sqrt{1 + v^2} + x v.

Шаг 4. Упрощение уравнения

Сократим обе стороны на x \neq 0 (так как x = 0 не входит в область определения):
v + x v' = \sqrt{1 + v^2} + v.

Сократим v с обеих сторон:
x v' = \sqrt{1 + v^2}.

Шаг 5. Разделение переменных

Разделим переменные v и x:
\frac{v'}{\sqrt{1 + v^2}} = \frac{1}{x}.

Интегрируем обе части. Левая часть интегрируется как:
\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \ln|v + \sqrt{1 + v^2}|.

Правая часть интегрируется как:
\int \frac{dx}{x} = \ln|x|.

Таким образом, получаем:
\ln|v + \sqrt{1 + v^2}| = \ln|x| + C,
где C — произвольная константа интегрирования.

Шаг 6. Упрощение результата

Возьмем экспоненту от обеих сторон:
v + \sqrt{1 + v^2} = C x,
где C = e^C > 0.

Шаг 7. Возвращаемся к y

Напомним, что v = \frac{y}{x}. Подставим это обратно:
\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} = C x.

Домножим на x, чтобы избавиться от дробей:
y + x \sqrt{x^2 + y^2} = C x^2.

Шаг 8. Учет начального условия

Подставим начальное условие y(1) = 0:
0 + 1 \cdot \sqrt{1^2 + 0^2} = C \cdot 1^2.

Получаем:
C = 1.

Шаг 9. Частное решение

Подставим C = 1 в уравнение:
y + x \sqrt{x^2 + y^2} = x^2.

Это и есть частное решение дифференциального уравнения.