Найти частное решение дифференциального уравнения методом операционного исчисления

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Операционное исчисление (преобразование Лапласа)

Задано:

Найти частное решение дифференциального уравнения методом операционного исчисления:

x'' + 4x = 5, \quad x(0) = 1, \quad x'(0) = 0.

Решение:

1. Применяем преобразование Лапласа

Обозначим преобразование Лапласа функции x(t) как X(s) = \mathcal{L}\{x(t)\}.

Для преобразований производных используем стандартные формулы:

• \mathcal{L}\{x'(t)\} = sX(s) - x(0),
• \mathcal{L}\{x''(t)\} = s^2X(s) - sx(0) - x'(0).

Применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения x'' + 4x = 5, получаем:

\mathcal{L}\{x''\} + 4\mathcal{L}\{x\} = \mathcal{L}\{5\}.

Подставим преобразования производных и начальные условия x(0) = 1, x'(0) = 0:

s^2X(s) - s \cdot 1 - 0 + 4X(s) = \frac{5}{s}.

Упростим уравнение:

s^2X(s) - s + 4X(s) = \frac{5}{s}.

Сгруппируем члены с X(s):

X(s)(s^2 + 4) = s + \frac{5}{s}.

Выразим X(s):

X(s) = \frac{s + \frac{5}{s}}{s^2 + 4} = \frac{s}{s^2 + 4} + \frac{5/s}{s^2 + 4}.

Разделим дроби:

X(s) = \frac{s}{s^2 + 4} + \frac{5}{s(s^2 + 4)}.

2. Найдем обратное преобразование Лапласа

Рассмотрим каждую дробь отдельно.

1. Для \frac{s}{s^2 + 4}:
   Это стандартное преобразование Лапласа от \cos(2t), так что:

   \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^2 + 4}\right\} = \cos(2t).

2. Для \frac{5}{s(s^2 + 4)}:
   Разложим дробь на простейшие слагаемые:

   \frac{5}{s(s^2 + 4)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^2 + 4}.

   Умножим на общий знаменатель s(s^2 + 4):

   5 = A(s^2 + 4) + (Bs + C)s.

   Раскроем скобки:

   5 = A(s^2) + 4A + Bs^2 + Cs.

   Сгруппируем члены:

   5 = (A + B)s^2 + Cs + 4A.

   Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях s:

   • При s^2: A + B = 0.
   • При s: C = 0.
   • Свободный член: 4A = 5 \quad \Rightarrow \quad A = \frac{5}{4}.

3. Из A + B = 0 следует B = -\frac{5}{4}.

   Таким образом:

   \frac{5}{s(s^2 + 4)} = \frac{\frac{5}{4}}{s} - \frac{\frac{5}{4}s}{s^2 + 4}.

   Найдем обратное преобразование Лапласа для каждого слагаемого:

   • \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{\frac{5}{4}}{s}\right\} = \frac{5}{4}.
   • \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{\frac{5}{4}s}{s^2 + 4}\right\} = \frac{5}{4}\cos(2t).

4. Таким образом:

   \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{5}{s(s^2 + 4)}\right\} = \frac{5}{4} - \frac{5}{4}\cos(2t).

3. Общее решение

Суммируем результаты:

x(t) = \cos(2t) + \frac{5}{4} - \frac{5}{4}\cos(2t).

Упростим:

x(t) = \frac{5}{4} - \frac{1}{4}\cos(2t).

Ответ:

Частное решение дифференциального уравнения:

x(t) = \frac{5}{4} - \frac{1}{4}\cos(2t).