Найти частное решение дифференциального уравнения методом операционного исчисления

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Операционное исчисление (преобразование Лапласа)

Задано:

Найти частное решение дифференциального уравнения методом операционного исчисления:

$x^{″}+4x=5,x(0)=1,x^{\prime }(0)=0.$

Решение:

1. Применяем преобразование Лапласа

Обозначим преобразование Лапласа функции $x(t)$ как $X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}$.

Для преобразований производных используем стандартные формулы:

• $\mathcal{L}\{x^{\prime }(t)\}=sX(s)-x(0)$,
• $\mathcal{L}\{x^{″}(t)\}=s^{2}X(s)-sx(0)-x^{\prime }(0).$

Применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения $x^{″}+4x=5$, получаем:

$\mathcal{L}\{x^{″}\}+4\mathcal{L}\{x\}=\mathcal{L}\{5\}.$

Подставим преобразования производных и начальные условия $x(0)=1$, $x^{\prime }(0)=0$:

$s^{2}X(s)-s\cdot 1-0+4X(s)=\frac{5}{s}.$

Упростим уравнение:

$s^{2}X(s)-s+4X(s)=\frac{5}{s}.$

Сгруппируем члены с $X(s)$:

$X(s)(s^2+4)=s+\frac{5}{s}.$

Выразим $X(s)$:

$X(s)=\frac{s+\frac{5}{s}}{s^2+4}=\frac{s}{s^2+4}+\frac{5/s}{s^2+4}.$

Разделим дроби:

$X(s)=\frac{s}{s^2+4}+\frac{5}{s(s^2+4)}.$

2. Найдем обратное преобразование Лапласа

Рассмотрим каждую дробь отдельно.

1. Для $\frac{s}{s^2+4}$:
   Это стандартное преобразование Лапласа от $\cos (2t)$, так что:

   ${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{s}{s^2+4}\right\}=\cos (2t).$

2. Для $\frac{5}{s(s^2+4)}$:
   Разложим дробь на простейшие слагаемые:

   $\frac{5}{s(s^2+4)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^2+4}.$

   Умножим на общий знаменатель $s(s^2+4)$:

   $5=A(s^2+4)+(Bs+C)s.$

   Раскроем скобки:

   $5=A(s^2)+4A+B{s}^2+Cs.$

   Сгруппируем члены:

   $5=(A+B)s^2+Cs+4A.$

   Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $s$:

   • При $s^2$: $A+B=0.$
   • При $s$: $C=0.$
   • Свободный член: $4A=5\Rightarrow A=\frac{5}{4}.$

3. Из $A+B=0$ следует $B=-\frac{5}{4}$.

   Таким образом:

   $\frac{5}{s(s^2+4)}=\frac{\frac{5}{4}}{s}-\frac{\frac{5}{4}s}{s^2+4}.$

   Найдем обратное преобразование Лапласа для каждого слагаемого:

   • ${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{\frac{5}{4}}{s}\right\}=\frac{5}{4}.$
   • ${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{\frac{5}{4}s}{s^2+4}\right\}=\frac{5}{4}\cos (2t).$

4. Таким образом:

   ${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{5}{s(s^2+4)}\right\}=\frac{5}{4}-\frac{5}{4}\cos (2t).$

3. Общее решение

Суммируем результаты:

$x(t)=\cos (2t)+\frac{5}{4}-\frac{5}{4}\cos (2t).$

Упростим:

$x(t)=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\cos (2t).$

Ответ:

Частное решение дифференциального уравнения:

$x(t)=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\cos (2t).$