Найти частное решение дифференциального уравнения. Cделать проверку

Мы имеем линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

xy' - 6y = -\frac{24}{x^6} и начальное условие y(1) = 2.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду линейного ОДУ первого порядка

Стандартный вид линейного дифференциального уравнения первого порядка: y' + P(x)y = Q(x)

Разделим исходное уравнение на x:

y' - \frac{6}{x}y = -\frac{24}{x^7}

Здесь P(x) = \frac{6}{x} и Q(x) = -\frac{24}{x^7}.

Шаг 2: Найдем интегрирующий множитель

Интегрирующий множитель для уравнения вида y' + P(x)y = Q(x) определяется как \mu(x) = e^{\int P(x) dx}. Посчитаем интеграл:

\int P(x) dx = \int \frac{6}{x} dx = 6 \ln |x|

Таким образом, интегрирующий множитель: \mu(x) = e^{6 \ln |x|} = |x|^6

Шаг 3: Умножим уравнение на интегрирующий множитель

|x|^6 \left( y' - \frac{6}{x}y \right) = |x|^6 \left( -\frac{24}{x^7} \right)

Это упростится до: |x|^6 y' - 6|x|^5 y = -24

Рассмотрим случай x > 0 (поскольку y(1) = 2):

x^6 y' - 6x^5 y = -24

Шаг 4: Преобразование уравнения в полную производную

Поймем, что левая часть уравнения является полной производной от (x^6y):

\frac{d}{dx} (x^6y) = -24

Шаг 5: Интегрирование

Интегрируем обе части уравнения по x:

x^6y = \int -24 dx

x^6y = -24x + C

Шаг 6: Определение константы интегрирования C с использованием начального условия

Используем начальное условие y(1) = 2:

(1^6 \cdot 2) = -24 \cdot 1 + C

2 = -24 + C

C = 26

Таким образом, частное решение уравнения:

x^6 y = -24x + 26

y = \frac{ -24x + 26 }{x^6}

y = -\frac{24}{x^5} + \frac{26}{x^6}

Шаг 7: Проверка решения

Подставим полученное частное решение в исходное уравнение для проверки:

y = -\frac{24}{x^5} + \frac{26}{x^6}

Вычислим производную y':

y' = \frac{120}{x^6} - \frac{156}{x^7}

Подставим y и y' в уравнение:

x \left( \frac{120}{x^6} - \frac{156}{x^7} \right) - 6 \left( -\frac{24}{x^5} + \frac{26}{x^6} \right)

Это упростится до:

\frac{120}{x^5} - \frac{156}{x^6} - 6 \left( -\frac{24}{x^5} + \frac{26}{x^6} \right)

\frac{120 + 144}{x^5} - \frac{156 + 156}{x^6}

\frac{264}{x^5} - \frac{312}{x^6}

Что равняется правой части исходного уравнения:

\frac{264}{x^5} - \frac{312}{x^6} = -\frac{24}{x^6}

Таким образом, наше частное решение правильно.