Найти частное решение дифференциального уравнения

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами)

Задание:
Найти частное решение дифференциального уравнения:

y'' + 3y' - 4y = 34\cos x

удовлетворяющее начальным условиям:

y(0) = -3,
y'(0) = 10

Шаг 1: Найдём общее решение уравнения

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Общее решение состоит из суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного:

y(x) = y_{\text{общ}}(x) + y_{\text{ч}}(x)

Шаг 2: Решим однородное уравнение

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение:

y'' + 3y' - 4y = 0

Характеристическое уравнение:

r^2 + 3r - 4 = 0

Решим его:

r = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 + 4\cdot4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}

Получаем корни:

r_1 = 1,
r_2 = -4

Значит, общее решение однородного уравнения:

y_{\text{общ}}(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-4x}

Шаг 3: Найдём частное решение неоднородного уравнения

Правая часть уравнения — функция 34\cos x. Попробуем частное решение в виде:

y_{\text{ч}}(x) = A\cos x + B\sin x

Найдём производные:

y_{\text{ч}}' = -A\sin x + B\cos x
y_{\text{ч}}'' = -A\cos x - B\sin x

Подставим в уравнение:

y'' + 3y' - 4y = (-A\cos x - B\sin x) + 3(-A\sin x + B\cos x) - 4(A\cos x + B\sin x)

Раскроем скобки:

= -A\cos x - B\sin x - 3A\sin x + 3B\cos x - 4A\cos x - 4B\sin x

Соберём по \cos x и \sin x:

(-A + 3B - 4A)\cos x + (-B - 3A - 4B)\sin x = 34\cos x

Упростим:

(-5A + 3B)\cos x + (-5B - 3A)\sin x = 34\cos x + 0\sin x

Приравниваем коэффициенты:

1. -5A + 3B = 34
2. -5B - 3A = 0

Решим систему:

Из второго уравнения:

-5B - 3A = 0 \Rightarrow B = -\frac{3}{5}A

Подставим в первое:

-5A + 3\left(-\frac{3}{5}A\right) = 34
-5A - \frac{9}{5}A = 34
-\frac{25A + 9A}{5} = 34
-\frac{34A}{5} = 34
A = -5

Теперь найдём B:

B = -\frac{3}{5}A = -\frac{3}{5}(-5) = 3

Итак, частное решение:

y_{\text{ч}}(x) = -5\cos x + 3\sin x

Шаг 4: Общее решение

y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-4x} - 5\cos x + 3\sin x

Шаг 5: Применим начальные условия

Условие 1: y(0) = -3

Подставим x = 0:

y(0) = C_1 + C_2 - 5 = -3
C_1 + C_2 = 2 — (1)

Условие 2: y'(0) = 10

Найдём производную:

y'(x) = C_1 e^{x} - 4C_2 e^{-4x} + 5\sin x + 3\cos x

Подставим x = 0:

y'(0) = C_1 - 4C_2 + 0 + 3 = 10
C_1 - 4C_2 = 7 — (2)

Шаг 6: Решим систему (1) и (2)

1. C_1 + C_2 = 2
2. C_1 - 4C_2 = 7

Вычтем (1) из (2):

(C_1 - 4C_2) - (C_1 + C_2) = 7 - 2
-5C_2 = 5 \Rightarrow C_2 = -1

Теперь найдём C_1:

C_1 = 2 - C_2 = 2 - (-1) = 3

Ответ:

y(x) = 3e^{x} - e^{-4x} - 5\cos x + 3\sin x — частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.