Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения

Это задание по предмету "Математика", раздел "Дифференциальные уравнения".

Давайте решим данное дифференциальное уравнение. Дано дифференциальное уравнение: xy' + (x+1)y = 3x^2 e^{-x} и начальное условие: y(1) = 0

Приведем уравнение к стандартной форме линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Стандартная форма: y' + p(x)y = q(x)

Разделим все уравнение на x: y' + \left(1 + \frac{1}{x}\right)y = 3x e^{-x}

Найдем интегрирующий множитель.

Интегрирующий множитель \mu(x) находится по формуле: \mu(x) = e^{\int p(x) \, dx}

Здесь p(x) = 1 + \frac{1}{x}: \mu(x) = e^{\int \left(1 + \frac{1}{x}\right) \, dx} = e^{x + \ln|x|} = e^x \cdot |x| = xe^x

Домножим уравнение на интегрирующий множитель.

Получим: (xe^x)y' + \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)xe^x\right)y = 3x e^{-x} \cdot xe^x

Это уравнение можно переписать как: (xe^x y)' = 3x

Интегрируем левую и правую части уравнения.

xe^x y = \int 3x \, dx

xe^x y = \frac{3x^2}{2} + C

Разделим обе части на xe^x, чтобы найти y.

y = \frac{\frac{3x^2}{2} + C}{xe^x}

y = \frac{3x}{2e^x} + \frac{C}{xe^x}

Используем начальное условие y(1) = 0, чтобы найти C.

Подставим x = 1 и y = 0: 0 = \frac{3 \cdot 1}{2e^1} + \frac{C}{1e^1}

0 = \frac{3}{2e} + \frac{C}{e}

C = -\frac{3}{2}

Запишем окончательное выражение для функции y(x).

y = \frac{3x}{2e^x} - \frac{\frac{3}{2}}{xe^x}

y = \frac{3x}{2e^x} - \frac{3}{2xe^x}

Таким образом, частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения: y = \frac{3x}{2e^x} - \frac{3}{2xe^x}