Найти частное решение

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (задача Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка)

Решение задачи:

Дано дифференциальное уравнение: x'' + 2x' = \sin \frac{t}{2}, с начальными условиями: x(0) = -2, \quad x'(0) = 4.

1. Решение однородного уравнения:

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: x'' + 2x' = 0.

Характеристическое уравнение: r^2 + 2r = 0.

Решая его: r(r + 2) = 0 \Rightarrow r_1 = 0, \quad r_2 = -2.

Общее решение однородного уравнения: x_h(t) = C_1 + C_2 e^{-2t}.

2. Частное решение:

Ищем частное решение в виде: x_p(t) = A \cos \frac{t}{2} + B \sin \frac{t}{2}.

Подставляем в уравнение: x_p'' + 2x_p' = \sin \frac{t}{2}.

Находим первые производные: x_p' = -\frac{A}{2} \sin \frac{t}{2} + \frac{B}{2} \cos \frac{t}{2}, x_p'' = -\frac{A}{4} \cos \frac{t}{2} - \frac{B}{4} \sin \frac{t}{2}.

Подставляем в уравнение: \left(-\frac{A}{4} \cos \frac{t}{2} - \frac{B}{4} \sin \frac{t}{2} \right) + 2 \left(-\frac{A}{2} \sin \frac{t}{2} + \frac{B}{2} \cos \frac{t}{2} \right) = \sin \frac{t}{2}.

Группируем по синусу и косинусу: \left(-\frac{A}{4} + B \right) \cos \frac{t}{2} + \left(-\frac{B}{4} - A \right) \sin \frac{t}{2} = \sin \frac{t}{2}.

Приравниваем коэффициенты: -\frac{B}{4} - A = 1, -\frac{A}{4} + B = 0.

Решая систему: Из второго уравнения: B = \frac{A}{4}.

Подставляем во второе: -\frac{A}{4} - A = 1.

-\frac{5A}{4} = 1 \Rightarrow A = -\frac{4}{5}.

B = \frac{-4}{20} = -\frac{1}{5}.

Частное решение: x_p = -\frac{4}{5} \cos \frac{t}{2} - \frac{1}{5} \sin \frac{t}{2}.

3. Общее решение:

x(t) = C_1 + C_2 e^{-2t} - \frac{4}{5} \cos \frac{t}{2} - \frac{1}{5} \sin \frac{t}{2}.

4. Определение констант:

Начальные условия: x(0) = -2, \quad x'(0) = 4.

Подставляем t = 0 в x(t): C_1 + C_2 - \frac{4}{5} = -2.

Находим производную: x'(t) = -2C_2 e^{-2t} + \frac{4}{10} \sin \frac{t}{2} - \frac{1}{10} \cos \frac{t}{2}.

Подставляем t = 0: -2C_2 - \frac{1}{10} = 4.

Решаем систему: C_1 + C_2 = -\frac{6}{5}, -2C_2 = \frac{41}{10} \Rightarrow C_2 = -\frac{41}{20}.

C_1 = -\frac{6}{5} + \frac{41}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}.

5. Итоговое решение:

x(t) = \frac{1}{4} - \frac{41}{20} e^{-2t} - \frac{4}{5} \cos \frac{t}{2} - \frac{1}{5} \sin \frac{t}{2}.