Найти частное дифференциальное уравнение

На изображении представлено частное дифференциальное уравнение: \( (y^2 - 2xy)dx + x^2dy = 0 \) Это уравнение относится к разделу математики, изучающему обыкновенные дифференциальные уравнения. Решение данного уравнения можно попытаться найти путём разделения переменных, но прежде чем это сделать, нужно проверить, не является ли оно уравнением в полных дифференциалах.

Уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если левая его часть \( (y^2 - 2xy)dx + x^2dy \) является полным дифференциалом некоторой функции \( U(x, y) \), то есть \( dU(x, y) \). Мы можем проверить, дифференцируема ли функция \( U \) так, чтобы получить указанный полный дифференциал.

Для функции \( U(x, y) \), её полные производные по \( x \) и \( y \) должны быть равны соответственно коэффициентам при \( dx \) и \( dy \) в уравнении. То есть:

• \( \frac{\partial U}{\partial x} = y^2 - 2xy \)
• \( \frac{\partial U}{\partial y} = x^2 \)

Теперь интегрируем первое уравнение по \( x \) и второе уравнение по \( y \) чтобы найти \( U(x, y) \):

1. Интегрируем \( \frac{\partial U}{\partial x} = y^2 - 2xy \) по \( x \), сохраняя \( y \) как константу: \( U(x, y) = \int (y^2 - 2xy)dx = y^2x - x^2y + g(y) \) Здесь \( g(y) \) - это функция от \( y \), производная которой по \( x \) равна нулю (она выражает константу интегрирования, которая может зависеть от \( y \)).
2. Теперь интегрируем \( \frac{\partial U}{\partial y} = x^2 \) по \( y \): \( U(x, y) = \int x^2dy = x^2y + h(x) \) Здесь \( h(x) \) - функция от \( x \), производная которой по \( y \) равна нулю.

Сравнивая оба результата интегрирования, видим, что полученные функции действительно согласуются друг с другом, если \( g(y) = h(x) = C \), где \( C \) - это константа интегрирования. Следовательно, уравнение \( (y^2 - 2xy)dx + x^2dy = 0 \) действительно является уравнением в полных дифференциалах, и общее решение можно записать как: \( y^2x - x^2y = C \) Это общее решение дифференциального уравнения, где \( C \) является произвольной константой.