Найти частное дифференциальное уравнение

На изображении представлено частное дифференциальное уравнение: $\text{(}(y^2-2xy)dx+x^{2}dy=0\text{)}$ Это уравнение относится к разделу математики, изучающему обыкновенные дифференциальные уравнения. Решение данного уравнения можно попытаться найти путём разделения переменных, но прежде чем это сделать, нужно проверить, не является ли оно уравнением в полных дифференциалах.

Уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если левая его часть $\text{(}(y^2-2xy)dx+x^{2}dy\text{)}$ является полным дифференциалом некоторой функции $\text{(}U(x,y)\text{)}$, то есть $\text{(}dU(x,y)\text{)}$. Мы можем проверить, дифференцируема ли функция $\text{(}U\text{)}$ так, чтобы получить указанный полный дифференциал.

Для функции $\text{(}U(x,y)\text{)}$, её полные производные по $\text{(}x\text{)}$ и $\text{(}y\text{)}$ должны быть равны соответственно коэффициентам при $\text{(}dx\text{)}$ и $\text{(}dy\text{)}$ в уравнении. То есть:

• $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }x}=y^2-2xy\text{)}$
• $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }y}=x^2\text{)}$

Теперь интегрируем первое уравнение по $\text{(}x\text{)}$ и второе уравнение по $\text{(}y\text{)}$ чтобы найти $\text{(}U(x,y)\text{)}$:

1. Интегрируем $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }x}=y^2-2xy\text{)}$ по $\text{(}x\text{)}$, сохраняя $\text{(}y\text{)}$ как константу: $\text{(}U(x,y)=\int (y^2-2xy)dx=y^{2}x-x^{2}y+g(y)\text{)}$ Здесь $\text{(}g(y)\text{)}$ - это функция от $\text{(}y\text{)}$, производная которой по $\text{(}x\text{)}$ равна нулю (она выражает константу интегрирования, которая может зависеть от $\text{(}y\text{)}$).
2. Теперь интегрируем $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }y}=x^2\text{)}$ по $\text{(}y\text{)}$: $\text{(}U(x,y)=\int x^{2}dy=x^{2}y+h(x)\text{)}$ Здесь $\text{(}h(x)\text{)}$ - функция от $\text{(}x\text{)}$, производная которой по $\text{(}y\text{)}$ равна нулю.

Сравнивая оба результата интегрирования, видим, что полученные функции действительно согласуются друг с другом, если $\text{(}g(y)=h(x)=C\text{)}$, где $\text{(}C\text{)}$ - это константа интегрирования. Следовательно, уравнение $\text{(}(y^2-2xy)dx+x^{2}dy=0\text{)}$ действительно является уравнением в полных дифференциалах, и общее решение можно записать как: $\text{(}{y}^{2}x-x^{2}y=C\text{)}$ Это общее решение дифференциального уравнения, где $\text{(}C\text{)}$ является произвольной константой.