Найти аналитическое решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с начальными условиями специального вида

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения с частными производными (уравнение теплопроводности), метод Фурье.

Нам дана начально-краевая задача для одномерного уравнения теплопроводности:

 \begin{cases} u_t = 4u_{xx}, \ u(0,t) = u(2\pi,t) = 0, \ u(x,0) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3\sin(x). \end{cases} 

Шаг 1: Метод Фурье

Мы ищем решение в виде разложения по собственным функциям граничной задачи Дирихле:

 u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n(t) \sin\left(\frac{n x}{L}\right), 

где в нашем случае L = 2\pi, так как x \in [0, 2\pi].

Но сначала перепишем начальное условие:

 u(x,0) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3\sin(x) 

Функция \sin\left(\frac{x}{2}\right) не является собственной функцией задачи с граничными условиями u(0,t) = u(2\pi,t) = 0, так как \sin\left(\frac{x}{2}\right) не обращается в ноль при x = 2\pi. Поэтому сначала убедимся, что начальная функция удовлетворяет граничным условиям.

Проверка граничных условий:

Проверим:

• u(0,0) = \sin(0) - 3\sin(0) = 0
• u(2\pi,0) = \sin\left(\frac{2\pi}{2}\right) - 3\sin(2\pi) = \sin(\pi) - 0 = 0

ОК! Значит, функция удовлетворяет граничным условиям.

Шаг 2: Разложение начального условия в ряд Фурье по синусам

Начальное условие:

 u(x,0) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3\sin(x) 

Разложим его в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, 2\pi]:

 u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n x}{L}\right), \quad L = 2\pi 

Но заметим, что \sin\left(\frac{x}{2}\right) — это не функция из ортонормированного базиса \sin\left(\frac{n x}{2\pi}\right), так как \frac{1}{2} \ne \frac{n}{2\pi}. Поэтому мы не будем разлагать этот ряд — он уже задан как разложение по синусам:

 u(x,0) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3\sin(x) 

Пусть это и есть разложение по синусам — тогда:

 u(x,t) = a_1(t)\sin\left(\frac{x}{2}\right) + a_2(t)\sin(x) 

Шаг 3: Подстановка в уравнение теплопроводности

Подставим в уравнение:

 u_t = 4 u_{xx} 

Вычислим производные:

Производная по времени:

 u_t = a_1'(t)\sin\left(\frac{x}{2}\right) + a_2'(t)\sin(x) 

Вторая производная по x:

 u_{xx} = a_1(t) \cdot \left(-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right) \sin\left(\frac{x}{2}\right) + a_2(t) \cdot (-1)^2 \sin(x) = -\frac{1}{4}a_1(t)\sin\left(\frac{x}{2}\right) - a_2(t)\sin(x) 

Теперь подставим в уравнение:

 a_1'(t)\sin\left(\frac{x}{2}\right) + a_2'(t)\sin(x) = 4\left(-\frac{1}{4}a_1(t)\sin\left(\frac{x}{2}\right) - a_2(t)\sin(x)\right) 

 a_1'(t)\sin\left(\frac{x}{2}\right) + a_2'(t)\sin(x) = -a_1(t)\sin\left(\frac{x}{2}\right) - 4a_2(t)\sin(x) 

Приравниваем коэффициенты при линейно независимых функциях:

• a_1'(t) = -a_1(t)
• a_2'(t) = -4a_2(t)

Шаг 4: Решение ОДУ

Для a_1(t):

 a_1'(t) = -a_1(t) \quad \Rightarrow \quad a_1(t) = C_1 e^{-t} 

Для a_2(t):

 a_2'(t) = -4a_2(t) \quad \Rightarrow \quad a_2(t) = C_2 e^{-4t} 

Шаг 5: Начальные условия

Из начального условия:

 u(x,0) = a_1(0)\sin\left(\frac{x}{2}\right) + a_2(0)\sin(x) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3\sin(x) 

Следовательно:

• a_1(0) = 1 \Rightarrow C_1 = 1
• a_2(0) = -3 \Rightarrow C_2 = -3

Шаг 6: Ответ

 u(x,t) = e^{-t}\sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3e^{-4t}\sin(x) 

Шаг 7: Проверка

Вторая производная по x:

 u_{xx} = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 e^{-t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3 e^{-4t} \cdot \sin(x) = -\frac{1}{4} e^{-t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3 e^{-4t} \sin(x) 

Производная по t:

 u_t = -e^{-t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) + 12 e^{-4t} \sin(x) 

Теперь проверим u_t = 4 u_{xx}:

Правая часть:

 4 u_{xx} = 4 \left( -\frac{1}{4} e^{-t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3 e^{-4t} \sin(x) \right) = -e^{-t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 12 e^{-4t} \sin(x) 

ОШИБКА! Мы нашли:

 u_t = -e^{-t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) + 12 e^{-4t} \sin(x) 

Ошибка в знаке! Должно быть:

 u_t = -e^{-t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 12 e^{-4t} \sin(x) 

Значит, в предыдущем шаге была ошибка:

 \frac{d}{dt}(-3e^{-4t}) = 12e^{-4t} \quad \text{(неверно!)}, \quad \text{должно быть: } -12e^{-4t} 

Исправим:

 u_t = -e^{-t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 12 e^{-4t} \sin(x) 

Теперь всё совпадает!

Ответ:

 \boxed{u(x,t) = e^{-t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3 e^{-4t} \sin(x)} 

Замечание о \lambda

В данной задаче \lambda — это собственное значение в уравнении вида:

 u_t = \lambda u_{xx} 

У нас \lambda = 4 > 0 — это классическое уравнение теплопроводности, которое описывает распространение тепла (затухающее поведение). В случае \lambda < 0 — это уравнение не физично (обратная теплопроводность, неустойчивое поведение), а при \lambda = 0 — уравнение вырождается в стационарное.