Найдём общее решение однородного уравнения

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием:
y' + y = \cos 3t, \quad y(0) = 2

Решим это уравнение.

1. Найдём общее решение однородного уравнения:
   y' + y = 0
   Характеристическое уравнение:
   r + 1 = 0 \implies r = -1
   Общее решение однородного уравнения:
   y_h = Ce^{-t}

2. Найдём частное решение уравнения с правой частью \cos 3t. Предположим частное решение в виде:
   y_p = A \cos 3t + B \sin 3t
   Тогда
   y_p' = -3A \sin 3t + 3B \cos 3t

Подставим в исходное уравнение:
y_p' + y_p = (-3A \sin 3t + 3B \cos 3t) + (A \cos 3t + B \sin 3t) = \cos 3t

Сгруппируем по синусам и косинусам:
(3B + A) \cos 3t + (-3A + B) \sin 3t = \cos 3t

Приравниваем коэффициенты:
 \begin{cases} 3B + A = 1 \ -3A + B = 0 \end{cases} 

Решим систему:
Из второго уравнения: B = 3A
Подставим в первое:
3(3A) + A = 1 \implies 9A + A = 1 \implies 10A = 1 \implies A = \frac{1}{10}
Тогда
B = \frac{3}{10}

3. Общее решение уравнения:
   y = y_h + y_p = Ce^{-t} + \frac{1}{10} \cos 3t + \frac{3}{10} \sin 3t

4. Используем начальное условие y(0) = 2:
   y(0) = C e^{0} + \frac{1}{10} \cos 0 + \frac{3}{10} \sin 0 = C + \frac{1}{10} = 2
   Отсюда
   C = 2 - \frac{1}{10} = \frac{20}{10} - \frac{1}{10} = \frac{19}{10}

Ответ:
y = \frac{19}{10} e^{-t} + \frac{1}{10} \cos 3t + \frac{3}{10} \sin 3t