Найдите точки экстремума функцииz=2x+2y-x^2+y^2

Этот вопрос относится к математике, а именно к разделу анализа изучающему экстремумы функций нескольких переменных.

Дана функция: \[z = 2x + 2y - x^2 + y^2\]

Чтобы найти точки экстремума функции нескольких переменных \(z(x, y)\), нужно найти первый и второй частные производные функции и исследовать их.

Шаг 1: Найдите первые частные производные функции

\[\frac{\partial z}{\partial x} = 2 - 2x\]

\[\frac{\partial z}{\partial y} = 2 + 2y\]

Шаг 2: Найдите критические точки

Для этого приравняем первые частные производные к нулю и решим систему уравнений:

\[\frac{\partial z}{\partial x} = 2 - 2x = 0\]

\[\frac{\partial z}{\partial y} = 2 + 2y = 0\]

Решая эти уравнения, найдем:

\[ 2 - 2x = 0 \implies x = 1 \]

\[ 2 + 2y = 0 \implies y = -1 \]

Итак, критическая точка: \((x, y) = (1, -1)\)

Шаг 3: Найдите вторые частные производные функции

\[\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -2\]

\[\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2\]

\[\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0\]

\[\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = 0\]

Шаг 4: Исследуйте знак выражения \(D\) — определитель Гессе (матрицы вторых частных производных)

Определитель Гессе \(D\) для функции двух переменных вычисляется следующим образом:

\[ D = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} - \left( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \right)^2 \]

Подставляем значения вторых частных производных:

\[ D = (-2) \cdot 2 - (0)^2 \]

\[ D = -4 \]

Шаг 5: Определение характера критической точки

В критической точке \((1, -1)\):

• Если \(D > 0\) и \(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} > 0\), то это локальный минимум.
• Если \(D > 0\) и \(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} < 0\), то это локальный максимум.
• Если \(D < 0\), то это седловая точка.
• Если \(D = 0\), дополнительное исследование необходимо.

В данном случае \(D = -4 < 0\). Следовательно, точка \((1, -1)\) является седловой точкой.

Итог

Критическая точка функции \(z = 2x + 2y - x^2 + y^2\) — \((1, -1)\). Эта точка является седловой.