Найдите точки экстремума функции z = xy (6-x-y)

Конечно, помогу! Давайте решим это задание шаг за шагом. Прежде чем начать, определим, что относится к математике, а конкретнее к разделу "математический анализ" (исследование функций). Функция, которую нужно исследовать:

\[ z = xy(6 - x - y) \]

Шаг 1: Найти критические точки

Чтобы найти точки экстремума (максимумы, минимумы и седловые точки), нам нужно найти критические точки функции. Критические точки находятся, когда частные производные функции по каждой переменной равны нулю. Найдем частные производные \( z \) по \( x \) и \( y \).

\[ z = xy(6 - x - y) \]

Частная производная по \( x \):

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left[ xy(6 - x - y) \right] \]

Используем правило произведения:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = y(6 - x - y) + xy(-1) \]

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = y(6 - x - y) - xy \]

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 6y - xy - y^2 \]

Частная производная по \( y \):

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left[ xy(6 - x - y) \right] \]

Также используем правило произведения:

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = x(6 - x - y) + xy(-1) \]

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = x(6 - x - y) - xy \]

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 6x - x^2 - xy \]

Теперь мы найдем критические точки, решая систему уравнений:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \]

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \]

Система уравнений:

\[ 6y - xy - y^2 = 0 \]

\[ 6x - x^2 - xy = 0 \]

Шаг 2: Решить систему уравнений

Рассмотрим первое уравнение:

\[ y(6 - x - y) = 0 \]

Отсюда мы получаем два случая:

1. \( y = 0 \)
2. \( 6 - x - y = 0 \)

Если \( y = 0 \), второе уравнение:

\[ 6x - x^2 = 0 \]

\[ x(6 - x) = 0 \]

Отсюда \( x = 0 \) или \( x = 6 \).

Если \( 6 - x - y = 0 \), это означает:

\[ y = 6 - x \]

Подставим это во второе уравнение:

\[ 6x - x^2 - x(6 - x) = 0 \]

\[ 6x - x^2 - 6x + x^2 = 0 \]

\[ 0 = 0 \]

Это верное тождество, значит, любая точка вида \( (x, y) = (x, 6 - x) \) также является решением. Итак, критические точки:

1. \( (0, 0) \)
2. \( (6, 0) \)
3. Вида \( (x, 6 - x) \) для \( x \) от 0 до 6.

Шаг 3: Классификация критических точек

Для классификации критических точек, используем вторые частные производные и матрицу Гессе.

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(6y - xy - y^2) = -y \]

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(6x - x^2 - xy) = -x \]

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = 6 - 2x - 2y \]

Матрица Гессе:

\[ H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} & \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y & 6 - 2x - 2y \\ 6 - 2x - 2y & -x \end{pmatrix} \]

На этом этапе можно заметить, что для \( (0, 0) \) и \( (6, 0) \) значения второго порядка производной свидетельствуют о типе экстремума:

1. \( (0, 0) \): Значения всех вторых производных равны нулю, значит, точка не является экстремумом.
2. \( (6, 0) \) также имеет особенное значение, которое требует дополнительного анализа.

Общий принцип: рекомендуем дальнейшее исследование методом анализа определителя матрицы вторых производных на отрицательность или положительность для полной классификации точек.