Это задание по математике, а конкретнее по разделу математического анализа, в части, касающейся нахождения экстремумов функций нескольких переменных.
Определение экстремумов функции \( u(x, y) = x^3 + x^2 - x + y^2 + y + 7 \) включает в себя нахождение критических точек функции, исследование вторых частных производных и применение критерия второго порядка.
- Нахождение критических точек: Для нахождения критических точек функции, необходимо вычислить частные производные функции по переменным \( x \) и \( y \), а затем приравнять их к нулю.
\[
u_x = \frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 + 2x - 1
\]
\[
u_y = \frac{\partial u}{\partial y} = 2y + 1
\]
Приравниваем эти производные к нулю, чтобы найти критические точки:
\[
3x^2 + 2x - 1 = 0
\]
\[
2y + 1 = 0
\]
Решаем уравнение для \( y \):
\[
2y + 1 = 0 \implies y = -\frac{1}{2}
\]
Теперь решаем квадратное уравнение для \( x \):
\[
3x^2 + 2x - 1 = 0
\]
Решение этого квадратного уравнения можно найти используя формулу для корней квадратного уравнения \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\):
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6}
\]
Таким образом, у нас есть два значения \(x\):
\[
x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]
\[
x_2 = \frac{-6}{6} = -1
\]
Критические точки: ( \frac{1}{3}, -\frac{1}{2} ) и ( -1, -\frac{1}{2} ).
- Исследование вторых частных производных: Чтобы определить тип критических точек (минимум, максимум или седловая точка), необходимо использовать вторые частные производные и гессиан.
Вычисляем вторые частные производные:
\[
u_{xx} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 6x + 2
\]
\[
u_{yy} = \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 2
\]
\[
u_{xy} = \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = 0
\]
Подставляем критические точки в уравнения. Для точки ( \frac{1}{3}, -\frac{1}{2} ):
\[
u_{xx}( \frac{1}{3}, -\frac{1}{2} ) = 6 \cdot \frac{1}{3} + 2 = 4
\]
Гессиан:
\[
H = u_{xx} u_{yy} - (u_{xy})^2 = 4 \cdot 2 - 0^2 = 8
\]
\( H > 0 \) и \( u_{xx} > 0 \), следовательно, эта точка является точкой локального минимума.
Для точки ( -1, -\frac{1}{2} ):
\[
u_{xx}( -1, -\frac{1}{2} ) = 6 \cdot (-1) + 2 = -4
\]
Гессиан:
\[
H = u_{xx} u_{yy} - (u_{xy})^2 = -4 \cdot 2 - 0^2 = -8
\]
\( H < 0 \), следовательно, эта точка является седловой точкой.
Таким образом, функции \(u(x, y)\) имеет точку локального минимума ( \frac{1}{3}, -\frac{1}{2} ) и седловую точку ( -1, -\frac{1}{2} ).