Найдите решение задачи Коши для уравнения Гомпертца

Задание относится к курсу математического анализа, а именно к разделу дифференциальных уравнений.

Задача:

Требуется найти решение задачи Коши для уравнения Гомпертца, которое имеет вид (уравнение Гомпертца):

\[ \frac{d}{dt} \left[ \frac{N(t)}{K} \right] = -r \left[ \frac{N(t)}{K} \right] \ln \left[ \frac{N(t)}{K} \right], \]

с начальными значениями \(N(t_0) = N_0 > 0\), где \( K > 0 \), \( r > 0 \), \( N(t) \) обозначает численность популяции, а \( t \) — время.

Этапы решения:

Данное уравнение является нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка. Разберем его пошагово.

1. Обозначение и упрощение:

   Введем новую переменную:

   \[ z(t) = \frac{N(t)}{K}. \]

   Тогда дифференциал:

   \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{N(t)}{K} \right) = \frac{d}{dt} z(t) = z'(t). \]

   Замена в исходное уравнение даёт:

   \[ z'(t) = -r z(t) \ln z(t). \]

   Это новое нелинейное уравнение для \( z(t) \).

2. Решение уравнения:

   Преобразуем это уравнение в более удобный для решения вид. Разделим переменные \( z \) и \( t \):

   \[ \frac{z'(t)}{z(t) \ln z(t)} = -r. \]

   Теперь можно интегрировать обе части по времени \( t \).

3. Интегрирование:

   Удобнее решать интегрирование по переменной \( z \), но для этого введём новую переменную:

   Пусть \( v = \ln z \), тогда \( z = e^v \) и далее:

   \[ dz = e^v dv = z dv. \]

   Подставим это в уравнение:

   \[ \frac{dz}{z \ln z} = \frac{dv}{v}. \]

   Теперь интегрируем левую и правую части:

   \[ \int \frac{dv}{v} = -r \int dt. \]

   Решение даёт, что:

   \[ \ln |\ln z| = -rt + C, \]

   где \( C \) — константа интегрирования.

4. Решение для \( z(t) \):

   Теперь перейдем обратно к переменной \( z \):

   \[ \ln z = e^{-rt + C} = Ae^{-rt}, \]

   где \( A = e^C \). Таким образом:

   \[ z(t) = e^{Ae^{-rt}}. \]

5. Нахождение константы \( A \):

   Из начальных условий известно, что при \( t = t_0 \), \( N(t_0) = N_0 \). Отсюда, используя \( z(t_0) = \frac{N_0}{K} \), найдём \( A \):

   \[ \frac{N_0}{K} = e^{Ae^{-rt_0}}. \]

   Таким образом, \( A \) можно выразить через \( N_0 \).

Ответ:

Общее решение задачи Коши для уравнения Гомпертца представляется через переменную \( z(t) = \frac{N(t)}{K} \), где \( z(t) \) определяется как:

\[ z(t) = e^{Ae^{-rt}}, \]

где константа \( A \) зависит от начального условия (то есть \( N_0 \)).