Найдите решение задачи Коши для уравнения Ферхюльста – Пирла – Рида

Данный вопрос относится к предмету математического анализа или дифференциальных уравнений, а также к его разделу, связанному с задачами Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Уравнение, приведённое в задаче, представляет собой логистическое уравнение Ферхюльста — модель роста популяции с учётом ограниченности ресурсов. Мы решаем задачу Коши для данного уравнения:

\[ \frac{dN(t)}{dt} = r \left(1 - \frac{N(t)}{K}\right) N(t), \quad N(t_0) = N_0 > 0 \]

1. Уравнение:

\[ \frac{dN(t)}{dt} = r N(t) \left(1 - \frac{N(t)}{K}\right) \]

где:

• \( N(t) \) — численность популяции в момент времени \( t \),
• \( r \) — коэффициент роста популяции,
• \( K \) — максимальное количество особей, которое может поддерживаться средой (ёмкость среды),
• \( t_0 \) — начальный момент времени,
• \( N_0 \) — начальное условие, численность в момент времени \( t=t_0 \).

Это логистическое дифференциальное уравнение второго порядка, для которого будем искать его общее решение.

Шаг 1: Разделение переменных

Прежде всего, мы перепишем уравнение таким образом, чтобы разделить переменные \(N(t)\) и \(t\).

\[ \frac{1}{N(t)\left(1 - \frac{N(t)}{K}\right)} \, dN = r \, dt \]

Приведём к общему знаменателю левую часть:

\[ \frac{1}{N\left(1 - \frac{N}{K}\right)} = \frac{1}{N} + \frac{1}{K - N} \]

Следовательно, уравнение примет вид:

\[ \left( \frac{1}{N} + \frac{1}{K-N} \right) \, dN = r \, dt \]

Шаг 2: Интегрирование обеих частей

Интегрируем левую часть по \(N\), правую часть по \(t\):

\[ \int \left( \frac{1}{N} + \frac{1}{K-N} \right) \, dN = \int r \, dt \]

\[ \ln|N| - \ln|K - N| = r t + C \]

Шаг 3: Преобразование и нахождение конкретного решения

Известное свойство логарифмов:

\[ \ln\left(\frac{N}{K-N}\right) = r t + C \]

Возводим обе части уравнения в степень \(e\):

\[ \frac{N}{K-N} = e^{r t + C} = e^C \cdot e^{r t} \]

Обозначим \( e^C \) как произвольную постоянную \( A \):

\[ \frac{N}{K-N} = A e^{r t} \]

Выразим \(N(t)\):

\[ N(t) = \frac{K A e^{r t}}{1 + A e^{r t}} \]

Шаг 4: Нахождение постоянной \(A\)

Используем начальное условие \(N(t_0) = N_0\), подставляем это в наше решение:

\[ N_0 = \frac{K A e^{r t_0}}{1 + A e^{r t_0}} \]

Решаем это уравнение относительно \(A\):

\[ N_0 (1 + A e^{r t_0}) = K A e^{r t_0} \]

\[ N_0 + N_0 A e^{r t_0} = K A e^{r t_0} \]

\[ N_0 = A e^{r t_0} (K - N_0) \]

\[ A = \frac{N_0}{(K - N_0) e^{r t_0}} \]

Шаг 5: Подстановка найденного \(A\) в решение

Подставим найденное значение \(A\) в общее решение:

\[ N(t) = \frac{K \frac{N_0}{(K - N_0) e^{r t_0}} e^{r t}}{1 + \frac{N_0}{(K - N_0) e^{r t_0}} e^{r t}} \]

Это и есть решение задачи Коши для логистического уравнения Ферхюльста-Пирла-Рида с начальным условием \( N(t_0) = N_0 \).