Найдите решение уравнения Бернулли с помощью метода вариации произвольной постоянной.

Этот пример относится к предмету "дифференциальные уравнения", который является частью курса "математика".

Мы будем решать это уравнение Бернулли методом вариации произвольной постоянной. Дано уравнение: \[ xy \, dy = (y^2 + x) \, dx \]

Шаг 1: Разделим всё на \(x \, y^2\):

\[\frac{dy}{y^2} = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y^2}\right) dx \]

Упрощаем:

\[\frac{dy}{y^2} = \frac{1}{x} \, dx + dx \]

Шаг 2: Раделим переменные:

\[\frac{dy}{y^2} - dx = \frac{dx}{x} \]

Теперь мы выразим нашу переменную так, чтобы уравнение обозначало новое дифференциальное выражение.

\[u = \frac{1}{y} \]

\[dy = -\frac{du}{u^2} \]

Теперь наше уравнение переходит в:

\[-\frac{du}{u^2} = \frac{dx}{x} \]

Шаг 3: Интегрирование обеих сторон:

\[\int -\frac{du}{u^2} = \int \frac{dx}{x} \]

Интегрируем:

\[\frac{1}{u} = \ln |x| + C \]

Вернем исходное выражение:

\[\frac{1}{\frac{1}{y}} = \ln |x| + C \]

Решаем для \(y\):

\[y = \frac{1}{\ln |x| + C} \]

Шаг 4: Вместо постоянной \(C\) введем новую переменную \(C(x)\), чтобы использовать метод вариации произвольной постоянной:

\[y = \frac{1}{\ln |x| + C(x)} \]

Шаг 5: Найдем производную \(C(x)\):

\[y = \frac{1}{\ln x + C(x)} \]

Для \[\ln x \], при выводе с помощью \(C(x)\) производной:

Возвращаем изначальное преобразование чтобы найти решение C(x):

\[y^2 * \left(\frac{dy}{dx}\right) - \left(\frac{\ln x + \textbf{1}}{\ln x^2 + 2A^1}\right) = \left(\frac{dx}{x} + \text{end} \right)\]

Финальное решение уравнения будет:

\[y = \ln |x| + C \]