Найдите приближенное решение задачи Коши в виде суммы трех первых отличных отнуля членов ряда Маклорена.

Условие:

Найдите приближенное решение задачи Коши в виде суммы трех первых отличных от нуля членов ряда Маклорена.

Решение:

Для решения задачи Коши с помощью ряда Маклорена нам нужно выразить решение \( y(x) \) в виде степенного ряда: \[ y(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots \] где \( a_0, a_1, a_2, \ldots \) - коэффициенты ряда, которые мы должны найти. Первый коэффициент \( a_0 = y(0) = -1 \) согласно начальному условию. Чтобы найти другие коэффициенты, нам нужно взять производные от функции \( y(x) \), как это требуется в уравнении, и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях \( x \) в левой и правой части уравнения. Для начала вычислим первую производную \( y'(x) \): \[ y'(x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \ldots \] Учитывая, что \( y' = xy - y^3 + x \), подставляем наше выражение для \( y \): \[ a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \ldots = (-1 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots)(x) - (-1 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots)^3 + x \] Теперь приступим к выравниванию коэффициентов: - Для \( x^0 \): \( a_1 = -a_0 - a_0^3 = -(-1) - (-1)^3 = 1 - (-1) = 2 \) - Для \( x^1 \): \( 2a_2 = a_0 a_1 + a_1 a_0 - 3a_0^2 a_1 + 1 = -1 \cdot 2 + 2 \cdot -1 - 3(-1)^2 \cdot 2 + 1 = -2 - 2 - 6 + 1 = -9 \). Здесь \( a_2 = \frac{-9}{2} \). - Для \( x^2 \): \( 3a_3 = a_1^2 + 2a_0 a_2 - 3a_0a_1^2 \), но так как нам нужно найти только первые три коэффициента, мы можем остановиться на этом шаге, так как коэффициент при x^3 мы находить не будем (его мы просто опустим). Таким образом, первые три ненулевых члена ряда Маклорена для \( y(x) \) будут: \[ y(x) \approx -1 + 2x - \frac{9}{2}x^2 \] Это приближенное решение исходного дифференциального уравнения с заданными начальными условиями, в виде суммы трех первых ненулевых членов ряда Маклорена.