Найдите под каким углом пересекаются графики функции

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия и математический анализ

Задача: Найти угол пересечения графиков функций \( f_1(x) = x^3 \) и \( f_2(x) = \frac{1}{x^2} \).

Решение:

1. Найти точки пересечения графиков:

Приравниваем функции: \[ x^3 = \frac{1}{x^2} \].

Приведём уравнение к общему виду: \[ x^5 = 1 \].

Из этого следует: \[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = -1 \quad \text{(корни уравнения находятся стандартным способом)} \].

Таким образом, графики пересекаются в точках: \[ (1, 1) \quad \text{и} \quad (-1, -1) \].

2. Найти производные функций:

Производные функций выражают угловые коэффициенты касательных к графикам.

1. Для \( f_1(x) = x^3 \): \[ f_1'(x) = 3x^2 \].
2. Для \( f_2(x) = \frac{1}{x^2} \): \[ f_2'(x) = -\frac{2}{x^3} \].

3. Вычислить угловые коэффициенты в точках пересечения:

Берём значения \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

1. При \( x = 1 \):
   \[ k_1 = f_1'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3, \]
   \[ k_2 = f_2'(1) = -\frac{2}{1^3} = -2. \]
2. При \( x = -1 \):
   \[ k_1 = f_1'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 = 3, \]
   \[ k_2 = f_2'(-1) = -\frac{2}{(-1)^3} = 2. \]

4. Найти углы пересечения:

Формула для угла пересечения двух прямых с угловыми коэффициентами \( k_1 \) и \( k_2 \):

1. При \( x = 1 \):
   \[ \text{tg} \, \varphi = \left| \frac{3 - (-2)}{1 + 3 \cdot (-2)} \right| = \left| \frac{3 + 2}{1 - 6} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = 1. \]
   \[ \varphi = 45^\circ. \]
2. При \( x = -1 \):
   \[ \text{tg} \, \varphi = \left| \frac{3 - 2}{1 + 3 \cdot 2} \right| = \left| \frac{1}{1 + 6} \right| = \frac{1}{7} \].
   \[ \varphi \approx 8.13^\circ. \]

Ответ:

• Угол пересечения графиков в точке \( (1, 1) \): \( 45^\circ \).
• Угол пересечения графиков в точке \( (-1, -1) \): \( 8.13^\circ \).

\[ \text{tg} \, \varphi = \left| \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right| \].