Найдите общее решение линейного дифференциального уравнения:x( y'−y) = (1+ x² )e x

Определим сначала предмет и раздел предмета.

У нас в задании рассматривается линейное дифференциальное уравнение. Это относится к предмету математика, раздел "Дифференциальные уравнения".

Итак, нам нужно найти общее решение линейного дифференциального уравнения: $\text{[}x(y^{\prime }-y)=(1+x²)e^x\text{]}$ Перепишем его в более удобной форме: $\text{[}x{y}^{\prime }-xy=(1+x^2)e^x\text{]}$

Для удобства, мы разделим это уравнение на $\text{(}x\text{)}(предполагая,что\text{(}x\ne 0\text{)}$): $\text{[}{y}^{\prime }-y=\frac{(1+x^2)e^x}{x}\text{]}$

Теперь у нас линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида: $\text{[}{y}^{\prime }-y=\frac{(1+x^2)e^x}{x}\text{]}$

Решим его методом вариации констант или методом интегрирующего множителя. Сначала найдём решение соответствующего однородного уравнения: $\text{[}{y}^{\prime }-y=0\text{]}$

Для этого решаем уравнение: $\text{[}\frac{dy}{dx}=y\text{]}$ Решение этого уравнения: $\text{[}\frac{dy}{y}=dx\text{]}$ Интегрируем обе стороны: $\text{[}\ln |y|=x+C\text{]}$

Следовательно: $\text{[}{y}_h=C{e}^x\text{]}$

Теперь используем метод интегрирующего множителя для решения неоднородного уравнения. Интегрирующий множитель $\text{(}\mu (x)\text{)}$ для уравнения вида: $\text{[}{y}^{\prime }+p(x)y=q(x)\text{]}$ Определяется следующим образом: $\text{[}\mu (x)=e^{\int p(x)dx}\text{]}$ В нашем случае: $\text{[}p(x)=-1\text{]}$ Значит: $\text{[}\mu (x)=e^{\int -1dx}=e^{-x}\text{]}$

Умножаем уравнение на интегрирующий множитель: $\text{[}{e}^{-x}{y}^{\prime }-e^{-x}y=e^{-x}\cdot \frac{(1+x^2)e^x}{x}\text{]}$ Это можно упростить: $\text{[}{e}^{-x}{y}^{\prime }-e^{-x}y=\frac{1+x^2}{x}\text{]}$

Левая часть уравнения теперь - полная производная: $\text{[}\frac{d}{dx}(e^{-x}y)=\frac{1+x^2}{x}\text{]}$ Интегрируем обе стороны: $\text{[}\int \frac{d}{dx}(e^{-x}y)dx=\int \frac{1+x^2}{x}dx\text{]}$

Получим: $\text{[}{e}^{-x}y=\int (\frac{1}{x}+x)dx=\int \frac{1}{x}dx+\int xdx\text{]}$ Выполняем интегрирование: $\text{[}{e}^{-x}y=\ln |x|+\frac{x^2}{2}+C\text{]}$

Умножаем на $\text{(}{e}^x\text{)}$ обе части, чтобы найти $\text{(}y\text{)}$: $\text{[}y=e^x(\ln |x|+\frac{x^2}{2}+C)\text{]}$

Таким образом, общее решение линейного дифференциального уравнения: $\text{[}y=e^x(\ln |x|+\frac{x^2}{2}+C)$

Где $\text{(}C\text{)}$ - произвольная константа.