Найдите общее решение линейного дифференциального уравнения:x( y'−y) = (1+ x² )e x

Определим сначала предмет и раздел предмета.

У нас в задании рассматривается линейное дифференциальное уравнение. Это относится к предмету математика, раздел "Дифференциальные уравнения".

Итак, нам нужно найти общее решение линейного дифференциального уравнения: \[x( y'−y) = (1+ x² )e^x\] Перепишем его в более удобной форме: \[x y' − x y = (1 + x^2)e^x\]

Для удобства, мы разделим это уравнение на \(x\) (предполагая, что \(x \neq 0\)): \[y' − y = \frac{(1 + x^2)e^x}{x}\]

Теперь у нас линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида: \[y' - y = \frac{(1 + x^2)e^x}{x}\]

Решим его методом вариации констант или методом интегрирующего множителя. Сначала найдём решение соответствующего однородного уравнения: \[y' - y = 0\]

Для этого решаем уравнение: \[\frac{dy}{dx} = y\] Решение этого уравнения: \[\frac{dy}{y} = dx\] Интегрируем обе стороны: \[\ln|y| = x + C\]

Следовательно: \[y_h = Ce^x\]

Теперь используем метод интегрирующего множителя для решения неоднородного уравнения. Интегрирующий множитель \( \mu(x) \) для уравнения вида: \[y' + p(x)y = q(x)\] Определяется следующим образом: \[\mu(x) = e^{\int p(x) \, dx}\] В нашем случае: \[p(x) = -1\] Значит: \[\mu(x) = e^{\int -1 \, dx} = e^{-x}\]

Умножаем уравнение на интегрирующий множитель: \[e^{-x} y' - e^{-x} y = e^{-x} \cdot \frac{(1 + x^2)e^x}{x}\] Это можно упростить: \[e^{-x} y' - e^{-x} y = \frac{1 + x^2}{x}\]

Левая часть уравнения теперь - полная производная: \[\frac{d}{dx}(e^{-x} y) = \frac{1 + x^2}{x}\] Интегрируем обе стороны: \[\int \frac{d}{dx}(e^{-x} y) \, dx = \int \frac{1 + x^2}{x} \, dx\]

Получим: \[e^{-x} y = \int \left( \frac{1}{x} + x \right) \, dx = \int \frac{1}{x} \, dx + \int x \, dx\] Выполняем интегрирование: \[e^{-x} y = \ln|x| + \frac{x^2}{2} + C\]

Умножаем на \(e^x\) обе части, чтобы найти \(y\): \[y = e^x \left(\ln|x| + \frac{x^2}{2} + C \right)\]

Таким образом, общее решение линейного дифференциального уравнения: \[y = e^x \left(\ln|x| + \frac{x^2}{2} + C \right)

Где \(C\) - произвольная константа.