Найдите общее решение дифференциального уравнения x(y^2-4)dx+ydy=0

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано дифференциальное уравнение:
x(y^2-4)dx+ydy=0

Шаг 1: Приведение к удобному виду

Перепишем уравнение в дифференциальной форме:
x(y^2 - 4) \frac{dx}{dy} + y = 0

Выразим \frac{dx}{dy}:
\frac{dx}{dy} = -\frac{y}{x(y^2 - 4)}

Это уравнение можно решить методом разделения переменных.

Шаг 2: Разделение переменных

Перепишем уравнение в виде:
x \, dx = -\frac{y}{y^2 - 4} dy

Рассмотрим правую часть:
\frac{y}{y^2 - 4} можно разложить в сумму простых дробей:
\frac{y}{y^2 - 4} = \frac{y}{(y-2)(y+2)}

Представим в виде:
\frac{y}{(y-2)(y+2)} = \frac{A}{y-2} + \frac{B}{y+2}

Умножим обе части на (y-2)(y+2):
y = A(y+2) + B(y-2)

Подставим y = 2:
2 = A(2+2) + B(0) \Rightarrow 2 = 4A \Rightarrow A = \frac{1}{2}

Подставим y = -2:
-2 = A(0) + B(-2-2) \Rightarrow -2 = -4B \Rightarrow B = \frac{1}{2}

Таким образом,
\frac{y}{y^2 - 4} = \frac{1}{2(y-2)} + \frac{1}{2(y+2)}

Шаг 3: Интегрирование

Интегрируем обе части:
\int x \, dx = \int \left(-\frac{1}{2(y-2)} - \frac{1}{2(y+2)}\right) dy

Левая часть:
\int x \, dx = \frac{x^2}{2}

Правая часть:
\int \left(-\frac{1}{2(y-2)} - \frac{1}{2(y+2)}\right) dy = -\frac{1}{2} \ln |y-2| - \frac{1}{2} \ln |y+2|

Объединим логарифмы:
-\frac{1}{2} \ln |(y-2)(y+2)|

Шаг 4: Запись общего решения

\frac{x^2}{2} = -\frac{1}{2} \ln |(y-2)(y+2)| + C

Умножим на 2:
x^2 = -\ln |(y-2)(y+2)| + C

Это и есть общее решение уравнения.