Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найдите частные производные и полный дифференциал функции z = cos sqrt 2x^2 + y^2
Дана функция \( z = \cos(\sqrt{2x^2 + y^2}) \). Необходимо найти частные производные по \( x \) и \( y \), а также полный дифференциал функции.
Для начала обозначим внутреннюю функцию и функцию внешнюю.
\[ u = \sqrt{2x^2 + y^2} \] \[ z = \cos(u) \]Производная \(\cos(u)\) по \( u \) будет:
\[ \frac{\partial z}{\partial u} = -\sin(u) \]Теперь чтобы найти производную по \( x \), воспользуемся цепным правилом:
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \]Рассчитаем \(\frac{\partial u}{\partial x}\):
\[ u = (2x^2 + y^2)^{1/2} \]Применим производную:
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{2}(2x^2 + y^2)^{-1/2} \cdot (4x) = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + y^2}} \]Теперь подставим это в цепное правило:
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\sin(\sqrt{2x^2 + y^2}) \cdot \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + y^2}} \] \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\sin(\sqrt{2x^2 + y^2}) \cdot \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + y^2}} \]Процесс аналогичен. Рассчитаем \(\frac{\partial u}{\partial y}\):
\[ u = (2x^2 + y^2)^{1/2} \]Применим производную:
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2}(2x^2 + y^2)^{-1/2} \cdot (2y) = \frac{y}{\sqrt{2x^2 + y^2}} \]Теперь подставим это в цепное правило:
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = -\sin(\sqrt{2x^2 + y^2}) \cdot \frac{y}{\sqrt{2x^2 + y^2}} \]Таким образом, частные производные будут такими:
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2x \sin(\sqrt{2x^2 + y^2})}{\sqrt{2x^2 + y^2}} \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y \sin(\sqrt{2x^2 + y^2})}{\sqrt{2x^2 + y^2}} \]Полный дифференциал функции \( z \) определяется как:
\[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \]Подставим значения частных производных:
\[ dz = -\frac{2x \sin(\sqrt{2x^2 + y^2})}{\sqrt{2x^2 + y^2}} dx - \frac{y \sin(\sqrt{2x^2 + y^2})}{\sqrt{2x^2 + y^2}} dy \]Теперь полный дифференциал функции \( z \) выглядит так:
\[ dz = -\frac{2x \sin(\sqrt{2x^2 + y^2})}{\sqrt{2x^2 + y^2}} dx - \frac{y \sin(\sqrt...