Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям

Задание относится к предмету дифференциальные уравнения, раздел обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка: y'' + 8y' + 16y = 0, с начальными условиями: y(0) = 1, \quad y'(0) = 0.

Шаг 1: Найдём общее решение

Для начала решим характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению. Характеристическое уравнение имеет вид: r^2 + 8r + 16 = 0. Решим это алгебраическое уравнение. Для этого воспользуемся дискриминантом: D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0. Корни характеристического уравнения совпадают (случай кратного корня): r_1 = r_2 = \frac{-8}{2} = -4.

Шаг 2: Общее решение для уравнения с кратными корнями

При наличии кратного корня общего решения имеет вид: y(t) = (C_1 + C_2 t) e^{-4t}, где C_1 и C_2 — произвольные константы, которые будут найдены с помощью начальных условий.

Шаг 3: Применим начальные условия для нахождения констант

Начальные условия: y(0) = 1 и y'(0) = 0. 1. Подставим условие y(0) = 1 в общее решение: y(0) = (C_1 + C_2 \cdot 0) e^{0} = C_1 = 1. Таким образом, C_1 = 1. 2. Найдём y'(t) (производную общего решения): y'(t) = \frac{d}{dt} \left( (C_1 + C_2 t) e^{-4t} \right). Применим правило произведения: y'(t) = (C_1 + C_2 t) (-4e^{-4t}) + C_2 e^{-4t} = e^{-4t} \left[ -4(C_1 + C_2 t) + C_2 \right]. Преобразуем выражение: y'(t) = e^{-4t} \left[ -4C_1 - 4C_2 t + C_2 \right]. Подставим начальное условие y'(0) = 0: y'(0) = e^{0} \left[ -4C_1 + C_2 \right] = -4C_1 + C_2 = 0. Так как C_1 = 1, мы получаем: -4 \cdot 1 + C_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad C_2 = 4.

Шаг 4: Запишем частное решение

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения имеет вид: y(t) = (1 + 4t) e^{-4t}. Это решение удовлетворяет как уравнению, так и начальным условиям.

Ответ: Частное решение данного дифференциального уравнения:

y(t) = (1 + 4t) e^{-4t}.