Найдите частное решение дифференциального уравнения

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, линейные уравнения с постоянными коэффициентами, метод неопределённых коэффициентов

Дано дифференциальное уравнение:

y'' + 2y' + y = x^2

Нам нужно найти частное решение этого уравнения в виде:

y = Ax^2 + Bx + C

где A, B, C — неопределённые коэффициенты.

Шаг 1: Подставим предполагаемое решение в уравнение

Пусть:

y = Ax^2 + Bx + C

Тогда:

• Первая производная: y' = 2Ax + B
• Вторая производная: y'' = 2A

Теперь подставим y, y' и y'' в исходное уравнение:

y'' + 2y' + y = x^2

Подставим:

2A + 2(2Ax + B) + (Ax^2 + Bx + C) = x^2

Раскроем скобки:

2A + 4Ax + 2B + Ax^2 + Bx + C = x^2

Сгруппируем по степеням x:

• x^2: Ax^2
• x: 4Ax + Bx = (4A + B)x
• Свободный член: 2A + 2B + C

Итак, получаем:

Ax^2 + (4A + B)x + (2A + 2B + C) = x^2

Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x по обе стороны уравнения:

• При x^2:
  A = 1
• При x:
  4A + B = 0
• Свободный член:
  2A + 2B + C = 0

Шаг 2: Решим систему уравнений

У нас есть три уравнения:

1. A = 1
2. 4A + B = 0
3. 2A + 2B + C = 0

Подставим A = 1 во второе уравнение:

4(1) + B = 0 \Rightarrow B = -4

Теперь подставим A = 1 и B = -4 в третье уравнение:

2(1) + 2(-4) + C = 0 \Rightarrow 2 - 8 + C = 0 \Rightarrow C = 6

Ответ:

Частное решение уравнения:

y = x^2 - 4x + 6

Это и есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.