Найдите частичный интеграл для дифференциального уравнения

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (уравнения в полных дифференциалах)

Нам дано дифференциальное уравнение в форме:

 \left(12x^3 - \frac{1}{y} e^{\frac{x}{y}}\right) dx + \left(16y + \frac{x}{y^2} e^{\frac{x}{y}}\right) dy = 0 

Также дана начальная точка: y(0) = 1

Шаг 1: Проверим, является ли уравнение полным дифференциалом

Обозначим:

• M(x, y) = 12x^3 - \frac{1}{y} e^{\frac{x}{y}}
• N(x, y) = 16y + \frac{x}{y^2} e^{\frac{x}{y}}

Проверим условие равенства смешанных производных:

Найдём частные производные:

• \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(12x^3 - \frac{1}{y} e^{\frac{x}{y}}\right)

Продифференцируем второй член по y:

 \frac{\partial}{\partial y} \left( -\frac{1}{y} e^{\frac{x}{y}} \right) = \left( \frac{1}{y^2} e^{\frac{x}{y}} \right) - \left( \frac{1}{y} \cdot \frac{-x}{y^2} e^{\frac{x}{y}} \right) = \frac{1}{y^2} e^{\frac{x}{y}} + \frac{x}{y^3} e^{\frac{x}{y}} 

Таким образом:

 \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{y^2} e^{\frac{x}{y}} + \frac{x}{y^3} e^{\frac{x}{y}} 

Теперь найдём \frac{\partial N}{\partial x}:

 \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(16y + \frac{x}{y^2} e^{\frac{x}{y}}\right) 

Только второй член зависит от x:

 \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{y^2} e^{\frac{x}{y}} \right) = \frac{1}{y^2} e^{\frac{x}{y}} + \frac{x}{y^2} \cdot \frac{1}{y} e^{\frac{x}{y}} = \frac{1}{y^2} e^{\frac{x}{y}} + \frac{x}{y^3} e^{\frac{x}{y}} 

Итак:

 \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^2} e^{\frac{x}{y}} + \frac{x}{y^3} e^{\frac{x}{y}} 

Мы видим, что:

 \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} 

Следовательно, уравнение является полным дифференциалом.

Шаг 2: Найдём потенциальную функцию F(x, y), такую что:

 \frac{\partial F}{\partial x} = M(x, y), \quad \frac{\partial F}{\partial y} = N(x, y) 

Интегрируем M(x, y) по x:

 F(x, y) = \int \left(12x^3 - \frac{1}{y} e^{\frac{x}{y}} \right) dx 

Разделим на два слагаемых:

1. \int 12x^3 dx = 3x^4

2. \int \left(-\frac{1}{y} e^{\frac{x}{y}} \right) dx

Заменим переменную: u = \frac{x}{y} \Rightarrow dx = y du

Тогда:

 \int -\frac{1}{y} e^{\frac{x}{y}} dx = \int -\frac{1}{y} e^u \cdot y du = -\int e^u du = -e^u = -e^{\frac{x}{y}} 

Таким образом:

 F(x, y) = 3x^4 - e^{\frac{x}{y}} + h(y) 

Теперь найдём h(y) из условия \frac{\partial F}{\partial y} = N(x, y):

 \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(3x^4 - e^{\frac{x}{y}} + h(y) \right) = \frac{x}{y^2} e^{\frac{x}{y}} + h'(y) 

Приравняем к N(x, y):

 \frac{x}{y^2} e^{\frac{x}{y}} + h'(y) = 16y + \frac{x}{y^2} e^{\frac{x}{y}} 

Вычтем одинаковые члены:

 h'(y) = 16y \Rightarrow h(y) = 8y^2 + C 

Итак, потенциальная функция:

 F(x, y) = 3x^4 - e^{\frac{x}{y}} + 8y^2 + C 

Шаг 3: Общее решение

Так как уравнение полное, то его решением будет:

 F(x, y) = C \Rightarrow 3x^4 - e^{\frac{x}{y}} + 8y^2 = C 

Шаг 4: Найдём частное решение с учетом начального условия y(0) = 1

Подставим в уравнение:

 3 \cdot 0^4 - e^{\frac{0}{1}} + 8 \cdot 1^2 = C \Rightarrow -1 + 8 = C \Rightarrow C = 7 

Ответ:

Частное решение:

 3x^4 - e^{\frac{x}{y}} + 8y^2 = 7