Найдем производные функций ( y ) в каждом из пунктов

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление

Найдем производные функций ( y ) в каждом из пунктов.

a) ( y = \frac{1}{2} \cdot \operatorname{tg}^2 x + \ln(\cos x \cdot \operatorname{tg}^2 x) )

1. Производная первого слагаемого:
   [ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} \cdot \operatorname{tg}^2 x \right) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \operatorname{tg} x \cdot \frac{d}{dx} (\operatorname{tg} x) = \operatorname{tg} x \cdot (1 + \operatorname{tg}^2 x) = \operatorname{tg} x \cdot \sec^2 x. ]

2. Производная второго слагаемого:
   [ \frac{d}{dx} \ln(\cos x \cdot \operatorname{tg}^2 x) = \frac{1}{\cos x \cdot \operatorname{tg}^2 x} \cdot \frac{d}{dx} (\cos x \cdot \operatorname{tg}^2 x). ] Производная произведения: [ \frac{d}{dx} (\cos x \cdot \operatorname{tg}^2 x) = \frac{d}{dx} (\cos x) \cdot \operatorname{tg}^2 x + \cos x \cdot \frac{d}{dx} (\operatorname{tg}^2 x). ] Здесь: [ \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x, \quad \frac{d}{dx} (\operatorname{tg}^2 x) = 2 \cdot \operatorname{tg} x \cdot \sec^2 x. ] Подставляем: [ \frac{d}{dx} (\cos x \cdot \operatorname{tg}^2 x) = -\sin x \cdot \operatorname{tg}^2 x + \cos x \cdot 2 \cdot \operatorname{tg} x \cdot \sec^2 x. ] Итоговая производная второго слагаемого: [ \frac{d}{dx} \ln(\cos x \cdot \operatorname{tg}^2 x) = \frac{-\sin x \cdot \operatorname{tg}^2 x + \cos x \cdot 2 \cdot \operatorname{tg} x \cdot \sec^2 x}{\cos x \cdot \operatorname{tg}^2 x}. ]

3. Полная производная: [ \frac{dy}{dx} = \operatorname{tg} x \cdot \sec^2 x + \frac{-\sin x \cdot \operatorname{tg}^2 x + \cos x \cdot 2 \cdot \operatorname{tg} x \cdot \sec^2 x}{\cos x \cdot \operatorname{tg}^2 x}. ]

б) ( y = \operatorname{arctg} \frac{x}{1 + \sqrt{x}} )

Обозначим ( u = \frac{x}{1 + \sqrt{x}} ), тогда: [ y = \operatorname{arctg}(u), \quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx}. ]

1. Производная ( u ):
   [ u = \frac{x}{1 + \sqrt{x}}, \quad \frac{du}{dx} = \frac{(1 + \sqrt{x}) \cdot 1 - x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(1 + \sqrt{x})^2}. ] Упрощаем числитель: [ (1 + \sqrt{x}) - \frac{x}{2\sqrt{x}} = 1 + \sqrt{x} - \frac{x}{2\sqrt{x}} = 1 + \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{x}}{2}. ] Тогда: [ \frac{du}{dx} = \frac{1 + \frac{\sqrt{x}}{2}}{(1 + \sqrt{x})^2}. ]

2. Полная производная: [ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \left( \frac{x}{1 + \sqrt{x}} \right)^2} \cdot \frac{1 + \frac{\sqrt{x}}{2}}{(1 + \sqrt{x})^2}. ]

в) ( y = (x + 2x^2)^x )

Используем логарифмирование: [ y = (x + 2x^2)^x \quad \Rightarrow \quad \ln y = x \ln(x + 2x^2). ] Дифференцируем обе части: [ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln(x + 2x^2) + x \cdot \frac{1}{x + 2x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x + 2x^2). ] Находим производную ( x + 2x^2 ): [ \frac{d}{dx}(x + 2x^2) = 1 + 4x. ] Подставляем: [ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln(x + 2x^2) + x \cdot \frac{1 + 4x}{x + 2x^2}. ] Умножаем на ( y ): [ \frac{dy}{dx} = (x + 2x^2)^x \cdot \left[ \ln(x + 2x^2) + x \cdot \frac{1 + 4x}{x + 2x^2} \right]. ]

Ответы:

a)
[ \frac{dy}{dx} = \operatorname{tg} x \cdot \sec^2 x + \frac{-\sin x \cdot \operatorname{tg}^2 x + \cos x \cdot 2 \cdot \operatorname{tg} x \cdot \sec^2 x}{\cos x \cdot \operatorname{tg}^2 x}. ]

б)
[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \left( \frac{x}{1 + \sqrt{x}} \right)^2} \cdot \frac{1 + \frac{\sqrt{x}}{2}}{(1 + \sqrt{x})^2}. ]

в)
[ \frac{dy}{dx} = (x + 2x^2)^x \cdot \left[ \ln(x + 2x^2) + x \cdot \frac{1 + 4x}{x + 2x^2} \right]. ]