Написать первые три члена разложения функции

Это задание относится к математике, конкретно к теме разложения функций в ряд Тейлора или Маклорена.

Функция \( f(x) = x^2 \cdot \sqrt{1 + x^3} \).

Шаг 1: Разложим \(\sqrt{1 + x^3}\) в ряд Тейлора:

\[ \sqrt{1 + x^3} = (1 + x^3)^{1/2} \]

Шаг 2: Используем биномиальный ряд для разложения \( (1 + x^3)^{1/2} \):

\[ (1 + x^3)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2} x^3 - \frac{1}{8} x^6 + \cdots \]

здесь мы берем только первые три члена.

Шаг 3: Умножим \(x^2\) на разложение:

\[ f(x) = x^2 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} x^3 - \frac{1}{8} x^6\right) \]

Шаг 4: Распишем:

\[ f(x) = x^2 \cdot 1 + x^2 \cdot \frac{1}{2} x^3 - x^2 \cdot \frac{1}{8} x^6 \]

\[ f(x) = x^2 + \frac{1}{2} x^5 - \frac{1}{8} x^8 \]

Теперь приведенный результат сравним с предложенными вариантами. Из вариантов:

• \(x - \frac{x^4}{2 \cdot 1!} + \frac{x^5}{2^2 \cdot 2!}\)
• \(x^2 - \frac{x^5}{2 \cdot 1!} + \frac{x^8}{2^2 \cdot 2!}\)
• \(-x^2 + \frac{x^3}{3 \cdot 1!} - \frac{x^5}{5 \cdot 2!}\)
• \(x^2 - \frac{x^5}{2 \cdot 1!} + x^6 \cdot \frac{1}{2^2 \cdot 2!\})
• \(x^2 + \frac{x^5}{2 \cdot 1!} - \frac{x^8}{2^2 \cdot 2!}\)

Подходящий вариант: \[ x^2 + \frac{x^5}{2 \cdot 1!} - \frac{x^8}{2^2 \cdot 2!} \]

Итак, правильный ответ: \[ \boxed{x^2 + \frac{x^5}{2 \cdot 1!} - \frac{x^8}{2^2 \cdot 2!}} \]