Найти собственные значения λ и собственные функции y.

Пример 1:

Найти собственные значения λ и собственные функции y задачи:

Решение от преподавателя:

Считаем, что a≠b и, без потери общности, b>a,  

Если λ=0, то уравнение имеет общее решение , и для заданных краевых условий  при a≠b получаем тривиальное решение y=0.

Если λ=0, то характеристическое уравнение имеет число мнимые корни  и общее решение уравнения имеет вид:

Подставляя полученное выражение в граничные условия, получим систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно и C₁ и C₂

Ненулевое решение существует тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю:

Подставляя  в систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно C₁ и C₂, находим

соответствующие собственные функции:

 с точностью до множителя будут

Ответ: