Найти общее решение уравнения.

Пример 1:

Найти общее решение уравнения:

Решение от преподавателя:

Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных:

y=u*v, y' = u'v + uv'.

или

Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:

2. u'v*x = x²y^1/2
1. Приравниваем u=0, находим решение для:

Представим в виде:

Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:



2. Зная v, Находим u из условия: u'*v*x = x²*y^1/2

u' = 0
Интегрируя, получаем:

Из условия y=u*v, получаем:

или

Ответ:

Пример 2:

Найти решение дифференциального уравнения.

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Найти общее решение:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Задание 1. 

Найдите общее решение уравнения. Выделите частное решение уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию y(x₀) = y_0, и почтройте интегральную кривую для этого решения. 

Задания 2,3,4,5:

Найти общее решенин ДУ

Решение от преподавателя:

1) разделим переменные:

Интегрируем:

Из начального условия С=1, так что

График:

2) для однородного уравнения  разделим переменные:

Интегрирование даст

Решение неоднородного ДУ ищем вариацией постоянной.

Считая С=С(х), получим

Общее решение

3) составим характеристическое уравнение:

, его корни к=0 (кратности два), а также  , так что общее решение данного однородного ДУ

4) для однородного ДУ составим характеристическое уравнение, получим

, его корень к=2, кратности два, так что общее решение однородного ду

Решение неоднородного ищем вариацией постоянных.

Считаем С=С(х), С1=С1(х).

Наложим условие

, тогда подстановкой в уравнение получим еще 1 уравнение

Получим

Тогда

Общее решение, таким образом, будет

5) для однородного ДУ составим характеристическое уравнение:

, его корни к=1, к=-2, так что общее решение однородного ДУ

Решение неоднородного ищем в виде

Производные:

, так что подставив в уравнение, получим

a=b=-3,c=-4.5 и общее решение

Пример 5:

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Найти решение дифференциального уравнения.

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Найти общее решение:

Решение от преподавателя: