Найти общее решение дифференциального уравнения.

Главная
Высшая математика
Дифференциальные уравнения
Найти общее решение дифференциального уравнения.

Пример 1:

Найти общее решение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Сделать проверку.

(x - 2y)dx - x dy = 0

Решение от преподавателя:

Умножаем обе части уравнения на x

x(x - 2y)dx - x² dy = 0

Проверим условие Эйлера - Клеро

Условие это выполняются.

Следовательно, получилось уравнение в полных дифференциалах.

(x² - 2yx)dx - x² dy = 0

Проверяем, является ли x = 0 решением уравнения.

Является.

Проверка

Равенство верно.

Ответ.

x = 0

Пример 2:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Это уравнение Бернулли при n=2.
Разделив обе части уравнения на y² получаем:
x*y'/y²+1/y=ln(x)
Делаем замену: z=1/y
Тогда z' = -1/y²
и поэтому уравнение переписывается в виде
-x*z'+z=ln(x)
Решаем это уравнение методом вариации произвольной постоянной.
Представим в виде:
-x*z'+z = ln(x)
Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: z=u*x, z' = u'x + u.
u*x-x(u+u'x) = ln(x)
или
-u'x² = ln(x)
Представим в виде:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=u%5e%7b\prime%20%7d%20=%20-\frac%7bln(x)%7d%7bx%5e%7b2%7d%7d$
Интегрируя, получаем:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=u%20=%20\int\limits_%7b%7d%5e%7b%7d%7b-\frac%7bln(x)%7d%7bx%5e%7b2%7d%7d%20dx%7d%20=%20C%2B\frac%7bln(x)%7d%7bx%7d%2B\frac%7b1%7d%7bx%7d$
Учитывая, что z = u*x, получаем:
z = u*x = Cx+ln(x)+1
Поскольку z=1/y, то получим:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b1%7d%7by%7d%20=%20C\cdot%20x%2Bln(x)%2B1$

Пример 3:

Найти общее решение дифференциального уравнения I порядка.

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Проведем замену y=y’

y'-y*cos(x)/sin(x)=-cos(x)/((sin(x))^2)

Представим в виде:

-y·cos(x)/sin(x)+yʹ = -cos(x)/sin(x)²

Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u*v, y' = u'v + uv'.

-u·v·cos(x)/sin(x)+u·vʹ+uʹ·v = -cos(x)/sin(x)²

или

u(-v/tg(x)+vʹ) + uʹ·v= -cos(x)/sin(x)²

Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:

1. u(-v/tg(x)+vʹ) = 0

2. uʹ·v = -cos(x)/sin(x)²

1. Приравниваем u=0, находим решение для:

-v/tg(x)+vʹ = 0

Представим в виде:

vʹ = v/tg(x)

Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:

ln(v) = ln(sin(x))

v = sin(x)

2. Зная v, Находим u из условия: u'*v = -cos(x)/sin(x)²

uʹ·sin(x) = -cos(x)/sin(x)²

uʹ = -cos(x)/sin(x)³

Интегрируя, получаем:

Из условия y=u*v, получаем:

y = u·v = (C-1/(2·cos(x)²-2))·sin(x)

или

y = C·sin(x)-sin(x)/(2·cos(x)²-2) =Csin(x)-1/(2sinx)

Проведем обратную замену

Поскольку R(-sin(x),cos(x)) = -R(sin(x),cos(x)), то делаем тригонометрическую подстановку: cos(x) = t и тогда sin(x)dx = -dt

Упростим выражение:

Интегрируя, получаем:

Возвращаясь к замене переменных (t=cos(x)), получаем:

y = C*cos(x)-ln(cos(x)-1)/4-ln(cos(x)+1)/4+C1

Пример 5:

Найти общее решение уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Решите дифференциальные уравнения первого порядка. Найдите общее решение.

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка:

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx.

r² - r - 2 = 0

D=(-1)² - 4*1(-2)=9

Корни характеристического уравнения: r₁ = 2, r₂ = -1

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y₁ = e^2x, y₂ = e^-x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии: y(0) = 0, y'(0) = 3

Поскольку y(0) = c₁+c₂, то получаем первое уравнение:

c₁+c₂ = 0

Находим первую производную:

y' = 2c₁e^2x-c₂e^-x

Поскольку y'(0) = 2*c₁-c₂, то получаем второе уравнение:

2c₁-c₂ = 3

В итоге получаем систему из двух уравнений:

c₁+c₂ = 0

2c₁-c₂ = 3

которую решаем методом исключения переменных.

c₁ = 1, c₂ = -1

Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Пример 9:

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение от преподавателя:

Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u*v, y' = u'v + uv'.
u*v*x²+u*v'+u'v = x²
или
u(v*x²+v') + u'v= x²
Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:
1. u(v*x²+v') = 0
2. u'v = x²
1. Приравниваем u=0, находим решение для:
v*x²+v' = 0
Представим в виде:
v' = -v*x²
Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:

Пример 10:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

r² -2 r - 3 = 0

D=(-2)² - 4*1(-3)=16

Корни характеристического уравнения: r₁ = 3, r₂ = -1

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y₁ = e^3xy₂ = e^-x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = e^2*x

R(x) = e^α^x(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)),

P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 2 + 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида: y = Ae^2x

Вычисляем производные: y' = 2Ae^2xy'' = 4Ae^2x

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' -2y' -3y = (4Ae^2x) -2(2Ae^2x) -3(Ae^2x) = e^2x

или

-3Ae^2x = e^2x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

1: -3A = 1

Решая ее, находим:A = ^-1/₃;

Частное решение имеет вид: y=-¹/₃e^2x

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 11:

Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 14:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

r² +2 r + 5 = 0

D=2² - 4*1*5=-16

Корни характеристического уравнения:

r₁ = -1 + 2i r₂ = -1 - 2i

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:

f(x) = -sin(2*x)

R(x) = e^αx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), P(x) = 0, Q(x) = -1, α = 0, β = 2.
Следовательно, число α + βi = 2i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

y = Acos(2x) + Bsin(2x)

Вычисляем производные:

y' = -2Asin(2x)+2Bcos(2x)

y'' = -4(Acos(2x)+Bsin(2x))

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' + 2y' + 5y = (-4(Acos(2x)+Bsin(2x))) + 2(-2Asin(2x)+2Bcos(2x)) + 5(Acos(2x) + Bsin(2x)) = -sin(2x)

-4Asin(2x)+Acos(2x)+Bsin(2x)+4Bcos(2x) = -sin(2x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

1: -4A + B = -1

1: A + 4B = 0

Решая ее, находим:

A = ⁴/₁₇;B = ^-1/₁₇;

Частное решение имеет вид:

y=⁴/₁₇cos(2x) -¹/₁₇sin(2x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 15:

Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка:

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

r² +0 r + 4 = 0

D=0² - 4*1*4=-16

r₁ = 2i, r₂ = - 2i

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

f(x) = 4*e^2*x

R(x) = e^αx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx))

P(x) = 4, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.

Уравнение имеет частное решение вида:

y = Ae^2x

Вычисляем производные:

y' = 2Ae^2x

y'' = 4Ae^2x

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' + 4y = (4Ae^2x) + 4(Ae^2x) = 4e^2x

8Ae^2x = 4e^2x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

1: 8A = 4

Решая ее, находим:

A = ¹/₂;

Частное решение имеет вид:y=¹/₂e^2x

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 17:

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение от преподавателя:

Пример 18:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 19:

Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка:

Решение от преподавателя:

Пример 20:

Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 21:

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение от преподавателя:

Пример 22:

Найти общее решение однородного дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 23:

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение от преподавателя:

Пример 24:

Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 25:

Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 26:

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение от преподавателя:

Пример 27:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 28:

Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 29:

Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 30:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решим однородное уравнение:

Составим характеристическое уравнение

Поэтому - общее решение однородного уравнения.

Находим частное решение y* исходного уравнения. Оно ищется в виде:

Подставим в исходное уравнение, получим равенство:

Приравнивая коэффициенты при получаем систему уравнений:

Общее решение:

Ответ:

Пример 31:

Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка и точка М. Определить тип дифференциального уравнения. Найти общее решение дифференциального уравнения, уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М и уравнения еще 4-х интегральных кривых. Построить все эти кривые в системе координат.