Найдите общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Пример 1:

Найти общее и частное решения однородного линейного ДУ 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Решение от преподавателя:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r² -4 r + 4 = 0
D=(-4)² - 4*1*4=0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r₁ = 2 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e^2x
y₂ = xe^2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии: y(0) = 1, y'(0) = 0
Поскольку y(0) = c₁, то получаем первое уравнение:
c₁ = 1
Находим первую производную:
y' = 2c₁e^2x+2c₂x*e^2x+c₂e^2x
Поскольку y'(0) = 2*c₁+c₂, то получаем второе уравнение:
2c₁+c₂ = 0
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c₁ = 1
2c₁+c₂ = 0
т.е.:
c₁ = 1, c₂ = -2
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Пример 2:

Найдите общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

Решение от преподавателя:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r² +6 r + 5 = 0

D=6² - 4*1*5=16

Корни характеристического уравнения:

r₁ = -1

r₂ = -5

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y₁ = e^-x

y₂ = e^-5x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.

Для нахождения производных C'_i составляем систему уравнений:

C'₁(-e ^-x) + C'₂(-5e ^-5x) = x*e^-x

Выразим C'1 из первого уравнения:

C'₁ = -c₂e^-4x

и подставим во второе. В итоге получаем:

Интегрируем полученные функции C'_i:

Записываем полученные выражения в виде:

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Ответ:

Пример 3:

Требуется найти общее решение линейного ДУ 2-ого порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида:

Решение от преподавателя:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r² +7 r + 0 = 0
D=7² - 4*1*0=49


Корни характеристического уравнения:
r₁ = 0
r₂ = -7
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e^0x
y₂ = e^-7x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C'_i составляем систему уравнений:

C'₁(0) + C'₂(-7e^-7x) = e^-7x
Выразим C'₁ из первого уравнения:
C'₁ = -c₂e^-7x
и подставим во второе. В итоге получаем:


Интегрируем полученные функции C'_i:


Записываем полученные выражения в виде:


Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 4:

Требуется найти общее решение линейного ДУ 2-ого порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (с точностью до неизвестных постоянных в частном решении):

Решение от преподавателя:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r² -4 r + 4 = 0
D=(-4)² - 4*1*4=0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r₁ = 2 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e^2x
y₂ = xe^2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C'_i составляем систему уравнений:

C'₁(2e^2x) + C'₂(2x*e^2x+e^2x) = (x-1)*e^x+e^2xsin(6x)
Выразим C'₁ из первого уравнения:
C'₁ = -c₂x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C'₁ = -x(x+e^xsin(6x)-1)*e^-x
C'₂ = (x+e^xsin(6x)-1)*e^-x
Интегрируем полученные функции C'_i:
C₁ = + C₁
C₂ = + C₂
Записываем полученные выражения в виде:
C₁ = + C₁e^2x
C₂ = + C₂x*e^2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: