Найдите общее решение этого уравнения и определите частное решение.

Пример 1:

Найти общее и частное решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx.

r² -9 r + 18 = 0

D=(-9)² - 4*1*18=9

Корни характеристического уравнения:

r₁ = 6

r₂ = 3

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y₁ = e^6x

y₂ = e^3x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:

f(x) = 9/(1+e^3*x)

R(x) = e^αx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx))

P(x) = 9/(1, Q(x) = 0, α = 3, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 3 + 0i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r₂).

Уравнение имеет частное решение вида:

y = x (Ae^3x)

Вычисляем производные:

y' = 3Ax*e^3x+Ae^3x

y'' = 3A(3x+2)*e^3x

y'' -9y' + 18y = (3A(3x+2)*e^3x) -9(3Ax*e^3x+Ae^3x) + 18(x (Ae^3x)) = 9/(1+e^3x)

-3Ae^3x = 9/(1+e^3x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

1: -3A = 9

A = -3;

Частное решение имеет вид:

y=x (-3e^3x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y(0) = 0, y'(0) = 0

Поскольку y(0) = c₁+c₂, то получаем первое уравнение:

c₁+c₂ = 0

Находим первую производную:

y' = 6c₁e^6x+3c₂e^3x-9x*e^3x-3e^3x

Поскольку y'(0) = 6*c₁+3*c₂-3, то получаем второе уравнение:

6c₁+3c₂-3 = 0

В итоге получаем систему из двух уравнений:

c₁+c₂ = 0

6c₁+3c₂-3 = 0

которую решаем методом исключения переменных.

c₁ = 1, c₂ = -1

Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Пример 2:

Дано дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными и его начальные условия. Найдите общее решение этого уравнения и определите частное решение.

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Дано дифференциальное уравнение второго порядка и его начальные условия. Найдите общее решение этого уравнения и определите частное решение.

Решение от преподавателя: