Нахождение производных implicitly заданных функций

Эта задача относится к математике, в частности к дифференциальному исчислению, а именно к теме нахождения производных implicitly заданных функций. Для решения задачи нужно использовать метод дифференцирования неявной функции.

Пусть дано уравнение: \[ \sin y \cdot \ln x - y \cdot \ln^2 x + x e^{2y} - 1 = 0. \]

Шаг 1: Дифференцирование неявной функции

Для нахождения \( y'(x) \) (производной \( y \) по \( x \)), продифференцируем данное уравнение по \( x \). При этом будем использовать правило произведения и цепного правила. Учтем, что \( y \) является функцией от \( x \), то есть \( y = y(x) \), и, следовательно, \( y' = \frac{dy}{dx} \).

Дифференцируем:

1. \( \sin y \cdot \ln x \): \[ (\sin y \cdot \ln x)' = \cos y \cdot y' \cdot \ln x + \sin y \cdot \frac{1}{x}. \]
2. \( - y \cdot \ln^2 x \): \[ (- y \cdot \ln^2 x)' = - (\ln^2 x \cdot y)' = - \ln^2 x \cdot y' - y \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x}. \]
3. \( x e^{2y} \): \[ (x e^{2y})' = e^{2y} + x \cdot 2 e^{2y} \cdot y' = e^{2y} + 2 x e^{2y} \cdot y'. \]

Теперь подставим все производные в уравнение: \[ \cos y \cdot y' \cdot \ln x + \sin y \cdot \frac{1}{x} - \ln^2 x \cdot y' - y \cdot \frac{2 \ln x}{x} + e^{2y} + 2 x e^{2y} \cdot y' = 0. \]

Шаг 2: Сгруппировать термины, содержащие \( y' \)

Сгруппируем все члены, содержащие \( y' \), и все остальные члены: \[ \cos y \ln x \cdot y' - \ln^2 x \cdot y' + 2 x e^{2y} \cdot y' + \sin y \cdot \frac{1}{x} - y \cdot \frac{2 \ln x}{x} + e^{2y} = 0. \]

Шаг 3: Вынесем \( y' \):

\[ \left( \cos y \ln x - \ln^2 x + 2x e^{2y} \right) y' + \sin y \cdot \frac{1}{x} - y \cdot \frac{2 \ln x}{x} + e^{2y} = 0. \]

Шаг 4: Выражение для \( y' \):

\[ y' = - \frac{\sin y \cdot \frac{1}{x} - y \cdot \frac{2 \ln x}{x} + e^{2y}}{\cos y \ln x - \ln^2 x + 2 x e^{2y}}. \]

Шаг 5: Найти \( y'(1) \)

Теперь подставим \( x = 1 \) в уравнение. \[ \sin y(1) \cdot \ln 1 - y(1) \cdot (\ln 1)^2 + 1 \cdot e^{2 y(1)} - 1 = 0. \]

\( \ln 1 = 0, \) поэтому у нас останется: \[ 1 \cdot e^{2 y(1)} - 1 = 0 \] \[ e^{2 y(1)} = 1 \] \[ 2 y(1) = 0 \] \[ y(1) = 0. \]

Теперь подставим \( y(1) = 0 \) и \( x = 1 \) в выражение для производной: \[ y'(1) = - \frac{\sin 0 \cdot \frac{1}{1} - 0 \cdot \frac{2 \ln 1}{1} + e^{2 \cdot 0}}{\cos 0 \cdot \ln 1 - (\ln 1)^2 + 2 \cdot 1 \cdot e^{2 \cdot 0}} \] \[ = - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}. \]

Таким образом, \( y'(1) = - \frac{1}{2}. \)