Нахождение локальных экстремумов функции двух переменных

Это задание относится к математике, а именно к разделу "анализ" или "исследование функций нескольких переменных", и требует нахождения локальных экстремумов функции двух переменных \( f(x, y) \).

Данную производную \( f(x, y) = 2x^3 + 12x^2 + y^2 + 6xy + 14y + 30x \) необходимо исследовать на локальный экстремум. Для нахождения локальных экстремумов функции необходимо выполнить следующие шаги:

Первый шаг:

1. Найти частные производные первого порядка:
   • \[ f_x(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} \]
   • \[ f_y(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} \]
2. Определить стационарные точки, решив систему уравнений:
   • \[ f_x(x, y) = 0 \]
   • \[ f_y(x, y) = 0 \]
3. Подсчитать вторые частные производные функции.
   • \[ f_{xx}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \]
   • \[ f_{yy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \]
   • \[ f_{xy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \]
4. Исследовать найденные стационарные точки на экстремумы с помощью Гессиана (Hessian):
   • \[ \Delta = f_{xx}(x_0, y_0) f_{yy}(x_0, y_0) - (f_{xy}(x_0, y_0))^2 \]

Второй шаг:

• Находим частные производные первого порядка:
  • \[ f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(2x^3 + 12x^2 + y^2 + 6xy + 14y + 30x) = 6x^2 + 24x + 6y + 30 \]
  • \[ f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(2x^3 + 12x^2 + y^2 + 6xy + 14y + 30x) = 2y + 6x + 14 \]
• Определяем стационарные точки, решая систему:
  • \[ 6x^2 + 24x + 6y + 30 = 0 \]
  • \[ 2y + 6x + 14 = 0 \]
  Из второго уравнения выразим \( y \):
  • \[ 2y + 6x + 14 = 0 \Rightarrow 2y = -6x - 14 \Rightarrow y = -3x - 7 \]
  Подставим это в первое уравнение:
  • \[ 6x^2 + 24x + 6(-3x - 7) + 30 = 0 \Rightarrow 6x^2 + 24x - 18x - 42 + 30 = 0 \Rightarrow 6x^2 + 6x - 12 = 0 \]
  • \[ x^2 + x - 2 = 0 \]
  Решим квадратное уравнение:
  • \[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]
  • \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -2 \]
  Теперь найдем значения \( y \):
  • Для \( x_1 = 1 \): \[ y = -3(1) - 7 = -10 \]
  • Для \( x_2 = -2 \): \[ y = -3(-2) - 7 = -1 \]
  Стационарные точки: \( (1, -10) \) и \( (-2, -1) \).

Ответ:

Локальные экстремумы функции \(f(x, y)\) следующие:

• - Локальный минимум в точке \( (1, -10) \)
• - Седловая точка в \( (-2, -1) \)